Функций и построению их графиков

1 2 3 4 5 6 7

1.Исследовать функции и построить их графики.

1) а) y = 2x²-x⁴ б)

2) а) y = (x+3)³ б) y = ln(1+x²)

3) a) y = 2x³-3x²+7 б) y=xe^-x

4) a) б)

5) a) б)

6) a) б)

7) a) б)

8) a) б)

9) a) б)

10) a) y=x³-6x²+9x-5 б)

11) a) б)

12) a) б)

13) a) б)

14) a) б)

15) a) б)

16) a) б)

17) a) б)

18) a) б)

19) a) б)

20) a) б)

21) a) б)

22) a) y=x³+3x²-12x+5 б)

23) a) б)

24) a) y=x³+3x²-12x+5 б)

25) a) б)

26) a) y=2x³-15x²+26x-32 б)

27) a) б)

28) a) y=x³+9x²+24x+17 б)

29) a) б)

2. В полярных координатах построить график функции.

Записать уравнение построенной кривой в декартовых координатах.

1) 16)

2) 17)

3) 18)

4) 19)

5) 20)

6) 21)

7) 22)

8) 23)

9) 24)

10) 25)

11) 26)

12) 27)

13) 28)

14) 29)

15) 30)

3. Решить задачу.

1) Канал, ширина которого 27м, под прямым углом впадает в другой канал шириной 64м. Какова длина брёвен, которые можно сплавлять по этой системе каналов?

2) Найти наибольший объём цилиндра, у которого полная поверхность равна 24πм².

3) Сечение тоннеля имеет форму прямоугольника, завершенного сверху полукругом. Периметр сечения равен 18м. При каком радиусе полукруга площадь сечения будет наибольшей?

4) Из точек A и B по указанным стрелками направлениям выходят одновременно пароход и яхта. Их скорости соответственно: 40км/ч и 16км/ч. Через сколько времени расстояние между ними окажется наименьшим, если AB=145км?

5) Вблизи завода A проводится по намеченной прямой к городу железная дорога. Под каким углом α к проектируемой железной дороге нужно провести шоссе с завода A, чтобы доставка грузов из A в B была наиболее дешевой, если стоимость перевозки 1 тонны-километра по шоссе в m раз дороже, чем по железной дороге.

6) Бревно длиной 20м имеет форму усеченного конуса, диаметры основания которого равны соответственно 2 и 1 м. Требуется вырубить из бревна балку с квадратным сечением, ось которой совпадала бы с осью бревна и объем которой был бы наибольшим. Каковы должны быть размеры балки?

7) Населенные пункты A и B расположены по одну сторону от реки. Через реку намечено построить мост. В каком месте следует возвести этот мост, чтобы сумма расстояний от пунктов A и B до моста была наименьшей.

8) Три пункта A, B и С расположены так, что . Из пункта А выходит автомобиль, из B –одновременно поезд. Автомобиль движется по направлению к B со скоростью 80 км/ч, поезд движется по направлению к C со скоростью 50 км/ч. В какой момент времени (от начала движения) расстояние между поездом и автомобилем будет наименьшим, если AB=200км?

9) Два самолета летят в одной плоскости и прямолинейно под углом в с одинаковой скоростью v км/ч. В некоторый момент один

самолет пришел в точку пересечения линии движения, а второй не дошел до неё а км. Через сколько времени расстояние между самолетами будет наименьшим и чему равно это расстояние?

9) Кровельщик делает открытый желоб наименьшей вместительности, у которого дно и бока были бы шириной 10 см и бока одинаково наклонены ко дну. Какова должна быть ширина желоба наверху?

10) Требуется построить котел, состоящий из цилиндра, завершенного двумя полусферами, со стенками постоянной толщины так, чтобы при данном объеме V он имел бы наименьшую поверхность.

11) Из листа, имеющего форму круга радиуса R, вырезать такой сектор, чтобы, свернув его, получить воронку наибольшей вместительности.

12) Общая длина стен, изображенных на плане дома, должна быть равна 90м. При какой ширине x коридора площадь трех остальных комнат будет наибольшей?

13) Требуется изготовить конический шатер вместительности V, чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала. Найти отношение высоты шатра к радиусу основания.

14) Турист идет из пункта А, находящегося на шоссейной дороге, в пункт В, расположенный в 8 км от шоссе. Расстояние от А до В по прямой составляет 17 км. В каком месте туристу следует свернуть с шоссе, чтобы в кратчайшее время прийти в пункт В, если его скорость передвижения по шоссе 5 км/ч, а по бездорожью 3 км/ч?

15) Из прямоугольного листа жести размером см требуется изготовить открытую коробку, вырезая по углам листа равные квадраты и загибая оставшиеся боковые полосы под прямым углом. Какова должна быть сторона вырезаемых квадратов, чтобы вместимость коробки была наименьшей?

16) Огород прямоугольной формы огорожен изгородью, длина которой 72м. Каковы должны быть размеры огорода, чтобы его площадь была максимальной?

17) Требуется изготовить полотняный шатер, имеющего форму прямого кругового конуса заданной вместимости . Каковы должны быть размеры конуса (высота и радиус основания), чтобы на шатер ушло наименьшее количество полотна?

18) Открытый чан имеет форму цилиндра объема .Каковы должны быть радиус основания и высота чана, чтобы на его изготовление ушло наименьшее количество материала.

19) Требуется огородить забором прямоугольный участок земли площадью 294 м² и разделить затем этот участок забором на две равные части. При каких линейных размерах участка длина всего забора будет наименьшей?

20) Корабль К стоит в 9 км от ближайшей точки В прямолинейного берега. С корабля нужно послать курьера в лагерь L, находящийся на берегу и расположенный в 15 км (считая по берегу) от точки В. В каком пункте Р берега курьер должен пристать, чтобы попасть в лагерь в кратчайшее время, если он идет пешком со скоростью 5 км/ч, а на веслах-4 км/ч?

21) Какое отношение должно быть между высотой и радиусом закрытой металлической банки, чтобы расход металла не её изготовление был наименьшим?

22) Какое соотношение должно быть между высотой и радиусом цилиндрической банки без крышки емкостью в 1 л, чтобы на её изготовление пошло наименьше количество материала?

23) Населенный пункт А расположен на расстоянии 3км от автомагистрали и 5км от города В, через который проходит эта магистраль. Под каким углом к автомагистрали нужно построить подъездную дорогу, чтобы затраты времени на перевозку грузов из А в В были наименьшими, если допустимая скорость движения автомобилей по магистрали –90 км/ч, а по подъездной дороге –45 км/ч?

24) В прямоугольный треугольник с катетами 2см и 4см, впишите прямоугольник наибольшей площади со сторонами, параллельными катетам треугольника.

25) Найти высоту и радиус основания цилиндра наибольшего объема, который может быть вписан в конус с радиусом основания 4 см и высотой 10 см.

26) Какой должна быть высота конуса, вписанного в шар радиуса 20 см, чтобы его объем был наибольшим?

27) Тело представляет собой прямой круговой цилиндр, завершенный сверху полушаром. При каких линейных размерах (радиус R и высота H) это тело будет иметь полную наименьшую поверхность, если объем его ?

28) Требуется изготовить открытый сверху цилиндрический сосуд максимальной вместимости. Каковы должны быть размеры сосуда (радиуса R и высота H), если на его изготовление имеется 12π ( материала?

29) Резервуар, открытый сверху, имеет форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием. Каковы должны быть размеры резервуара, чтобы на его лужение пошло наименьшее количество материала, если он должен вмещать 108 л воды?

Решение типовых примеров.

1. Исследовать функцию и построить её график

1) Область определения функции

Функция определена при любом значении аргумента x за исключением x=2. Следовательно, область определения данной функции состоит из двух интервалов:

D(y)=(-∞;2) (2;+∞).

2) Непрерывность функции. Точки разрыва.

При x=2 функция терпит разрыв, т.к. y(2) не существует. При этом ,

3) Четность функции

Т.к область определения не симметрична относительно точки x=0, то функция является ни четной, ни нечетной.

4) Интервалы возрастания и убывания функции. Точки экстремума.

Определим критические точки первого рода, для чего найдем первую производную:

Решим уравнение . , отсюда .

Итак, мы получили две критические точки: .

Дальнейшее исследование удобно расположить в схему:

Итак, при переходе через точку x=-4 производная меняет свой знак с плюса на минус, следовательно, x=-4 – точка максимума. А при переходе через точку x=8 производная меняет свой знак с минуса на плюс, следовательно, точка x=8 есть точка минимума.

При функция возрастает, т.к. производная на этих интервалах неотрицательна.

При функция убывает, т.к. производная на этом интервале отрицательна.

5) Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.

Найдём вторую производную функции

Т.к вторая производная нигде не обращается в ноль, то точек перегиба нет. При x<2 вторая производная отрицательна, следовательно, при график функции выпуклый, а при x>2 вторая призводная больше нуля, следовательно (2;+∞) есть интервал вогнутости графика функции.

6) Асимптоты графика функции.

x=2-вертикальная асимптота. Наклонные асимптоты ищем в виде , где , а . Таким образом

, . Итак -наклонная асимптота графика функции.

7) Пересечение графика функции с координатными осями. Найдём точки пересечения графика функции с осью (ox), уравнение которой y=0. Из уравнения получаем, что таких точек нет.

Найдем точки пересечения графика функции с осью (oy), уравнение которой x=0. Найдем y(0)= . Таким образом, (0;-16) есть точка пересечения графика функции с осью (oy).

8) Поведение функции на бесконечности

, .

Пример 2. В полярной системе координат построить график функции

(без исследования). Записать уравнение, построенной кривой в декартовых координатах.

Так как требуется построить график функции без исследования, то заполним таблицу, где будут указаны значения и им соответствующие . Т.к. и , то


	0,97	0,86	0,71	0,5	0,26		-0,26	-0,5	-0,71	-0,86	-0,97	-1

-0,97	-0,86	-0,71	-0,5	-0,26		0,26	0,5	0,71	0,86	0,97

Выберем полярную систему координат: полюс О и полярную ось. Построим лучи [OA)-соответствующий - , [OB)- , [OC)- , и т.д. Отложим на построенных лучах значение . Соединив полученные точки плавной линией, получим искомую кривую.

Перейдем к декартовым координатам в записи уравнения кривой .

Формулы перехода от полярных координат к декартовым: , , . В итоге получаем: , или . Таким образом, уравнение построенной окружности .

3. Решите задачу:

Сечение канализационного коллектора имеет форму прямоугольника, заканчивающегося снизу полукругом. Периметр сечения а. При каком радиусе полукруга площадь сечения будет наибольшей.

Площадь сечения состоит из площади прямоугольника и площади полукруга. Пусть радиус полукруга – r, а высота прямоугольника h.Тогда получим, что площадь сечения S равна:

, т.е. площадь сечения зависит от двух переменных r и h, которые могут меняться, но не произвольно: r и h связаны условием, что периметр сечения коллектора а постоянный. Периметр сечения а равен:

а=2h +2r +πr.

Поскольку r и h – зависимые переменные в качестве аргумента выбираем одну из них, например, h. Тогда , и следовательно, . Получаем S как функцию от аргумента r (a-const), т.е. . Полученную функцию нужно исследовать на наибольшее и наименьшее значение. Из условия задачи ясно, что r может меняться от 0 до +∞ и S(0)=0; S(∞)=-∞, а значит, наибольшее значение будет достигнуто внутри интервала (0;+∞), т.е. в одной из критических точек. Находим критические точки функции S(r). Для этого найдем производную . Из равенства , находим . Получим единственную критическую точку. Определим характер этой точки: