Индивидуальное задание № 1

Кафедра высшей математики

СБОРНИК КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ И ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Пособие для студентов инженерных специальностей АГАУ

Барнаул 2002

УДК

Абакумова Н.А.,Зенков А.В., Кокшарова М.В, Колесникова Т.Г., Морозова С.В. Сборник контрольных работ и индивидуальных заданий по высшей математике - Барнаул: Изд-во АГАУ 2002 - с.

Программа по высшей математике для студентов инженерных специальностей предусматривает выполнение ряда индивидуальных заданий и контрольных работ.

Настоящий сборник содержит по 30 вариантов индивидуальных заданий по темам, причем подробно рассматривается решение одного из вариантов по каждому разделу. Также в сборник включены контрольные работы по основным разделам курса высшей математики.

Утверждено методическим советом ИТАИ. Протокол № от

Рецензент: к.ф.-м.н.И.В.Лёвкин

Индивидуальное задание № 1

по теме «Аналитическая геометрия на плоскости.»

В задачах 1 – 30 даны координаты вершин треугольника АВС. Найти:

1)длину стороны АВ;

2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;

3) угол В в радианах с точностью до двух знаков;

4) уравнение высоты СД и её длину;

5) уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой СД;

6) уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно стороне АВ;

7) координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой СД.

№ 1 А(-2;2), В(10;-7), С(14;15).

№ 2 А(-4;-1), В(8;-10), С(12;12).

№ 3 А(-7;1), В(5;-8), С(9;14).

№ 4 А(1;2), В(13;-7), С(17;15).

№ 5 А(-7;-1), В(-5;-10), С(9;12).

№ 6 А(0;3), В(12;-6), С(16;16).

№ 7 А(-8;4), В(4;-5), С(8;17).

№ 8 А(-2;2), В(10;-7), С(14;15).

№ 9 А(-3;0), В(9;-9), С(13;13).

№10 А(-6;-2), В(6;-11), С(10;11).

№11 А(-8;-3), В(4;-12), С(8;10).

№12 А(-5;7), В(7;-2), С(11;20).

№13 А(-12;-1), В(0;-10), С(4;12).

№14 А(-10;9), В(2;0), С(6;22).

№15 А(0;2), В(12;-7), С(16;15).

№16 А(-9;6), В(3;-3), С(7;19)

№17 А(1;0), В(13;-9), С(17;13),

№18 А(-4;10), В(8;1), С(12;23),

№19 А(2;5), В(14;-4), С(18;18),

№20 А(-1;4), В(11;-5), С(15;17),

№21 А(-2;7), В(10;-2), С(8;12),

№22 А(-6;8), В(6;-1), С(4;13),

№23 А(3;6), В(15;-3), С(13;11),

№24 А(-10;5), В(2;-4), С(0;10),

№25 А(-4;12), В(8;3), С(6;17),

№26 А(-3;10), В(9;1), С(7;15),

№27 А(4;1), В(16;-8), С(14;6),

№28 А(-7;4), В(5;-5), С(3;9),

№29 А(0;3), В(12;-6), С(10;8),

№30 А(-5;9), В(7;0), С(5;14).

Задание № 2. Какую линию определяет уравнение в задачах

1 – 30. Построить данную линию в декартовой системе координат.

№ 1) 2х²– 4х + 2у – 3 = 0

№ 2) 2х² + 5у² – 12х + 10у + 13 = 0

№ 3) х²- у²+ 6х + 4у – 4 = 0

№ 4) 4х² + 9у² – 24х + 36у + 36 = 0

№ 5) х² – у² – 4х – 6у – 9 = 0

№ 6) у² – 10х – 2у – 19 = 0

№ 7) х² – у² + 4х + 2у – 6 = 0

№ 8) 2х² + 5у² – 8х – 2 = 0

№ 9 у² – 6х + 14у + 49 = 0

№ 10) 16х² +25у² – 32х + 50у – 359 = 0

№ 11) х² - у² – х + у – 1 = 0

№ 12) х² – 6х – 4у + 29 = 0

№ 13) 4х² + 9у² + 72х + 108 = 0

№ 14) 9х² – 25у² – 18х – 100у – 316 =0

№ 15) 4у² – 6у – х + 11 = 0

№ 16) х² – у² – 2х – 3 = 0

№ 17) у² + 4у – 6х + 7 = 0

№ 18) х² + у² – 2х + 4у –20 = 0

№ 19) 5х² – 6у² + 10х – 12у – 31 = 0

№ 20) 2х² + 4у² – 4х + 8у –10 = 0

№ 21) у² + 8у – 2х + 10 = 0

№ 22) х² – 2у² – 2х + 8у – 17 = 0

№ 23) х² + 4у² + 4х – 24у + 36 = 0

№ 24) у² – 4у + х – 6 = 0

№ 25) х² – у² – 4х + 2у – 4 = 0

№ 26) 2х² + 3у² – 4х + 6у – 7 = 0

№ 27) х² –6х + у – 7 = 0

№ 28) х² – 4у² – 2х + 16у + 1 = 0

№ 29) 4х² + 4у² + 3у – 2 = 0

№ 30) х² – 4у² + 6х + 5 = 0

Решение типовых заданий:

Пример 1

Даны вершины треугольника АВС: А(-3;3), В(9;-6), С(7;8).

Найти: 1) длину стороны АВ;

2) уравнение сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;

3) угол В в радианах;

4) уравнение высоты СД и её длину;

5) уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой СД;

6) уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно стороне АВ;

7) координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой СД.

Решение.

1) Расстояние между точками А(х₁;у₁) и В(х₂;у₂) определяется по формуле Применяя данную формулу, вычислим длину стороны АВ:

2) Уравнение прямой, проходящей через две данные точки А(х₁;у₁) и В(х₂;у₂), имеет вид: . Подставляя в формулу координаты точек А и В, получим уравнение стороны АВ:

, или ; 12у – 36 = - 9х – 27.

Таким образом, общее уравнение прямой АВ имеет вид:

3х + 4у – 3 = 0.

Решив последнее уравнение относительно у, определим уравнение стороны АВ в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом: , откуда k_АВ = .

Аналогично определим уравнение стороны ВС и её угловой коэффициент: ; ; - 2у- 12 = 14х – 126;

7х + у – 57 = 0 – общее уравнение прямой ВС,

у = -7х + 57, откуда k_ВС = -7.

3) Тангенс угла между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых k₁ и k₂вычисляется по формуле

. Искомый угол В образован прямыми АВ и ВС, угловые коэффициенты которых найдены: k_AB= ; k_BC= , тогда .

рад.

4) Так как высота CД перпендикулярна стороне AB, то угловые коэффициенты этих прямых обратны по величине и пртивоположны по знаку, т.е. k_CД=

Уравнение прямой проходящей через данную точку (х₁;у₁) в заданном угловым коэффициентом направлении, имеет вид:

у – у₁= k(х – х₁). Подставим координаты точки С и k_CД= , получим уравнение высоты CД: у – 8 = , 3у – 24 = 4х – 28, 4х – 3у – 4 = 0 – общее уравнение высоты CД. Для нахождения длины CД, вычислим координаты точки Д пересечения прямых АВ и CД, для этого решим систему из уравнений определяющих указанные прямые: . Решим систему уравнений методом Крамера, для чего вычислим определители:

Δ = = - 25; Δ_х = = - 25; Δ_у = = 0;

Тогда решение системы имеет вид: ; , то есть положение точки Д определяется координатами (1;0). Вычислим длину высоты

5) Чтобы найти уравнение медианы АЕ, определим сначала координаты точки Е, которая является серединой стороны ВС, применяя формулы деления отрезка на две равные части:

Следовательно, то есть Е(8;1).

Подставив в формулу уравнения прямой, проходящей через две данные точки, координаты точек А и Е, определяем уравнение медианы АЕ.

таким образом, 2х + 11у – 27 = 0 есть общее уравнение медианы АЕ.

Чтобы определить координаты точки пересечения высоты CД и медианы АЕ, решим систему уравнений, задающих указанные прямые.

; решая данную систему уравнений методом Крамера, вычислим Δ = 50, Δ_х= 125, Δ_у = 100, тогда ; , то есть К(2,5;2) – точка пересечения высоты CD и медианы АЕ.

6) Так как искомая прямая параллельна стороне АВ, то её угловой коэффициент будет равен угловому коэффициенту прямой АВ, то есть . Применяя формулу нахождения уравнения прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении, получаем: или - общее уравнение искомой прямой.

7) Так как прямая АВ перпендикулярна прямой CД, то искомая точка М, расположенная симметрично точке А относительно прямой CД лежит на прямой АВ. Кроме того, точка Д является серединой отрезка АМ. Применяя формулы деления отрезка на две равные части, вычисляем координаты точки М:

, отсюда х_М= 5; , отсюда у_М= - 3.

То есть точка М имеет координаты (5;-3).

Треугольник АВС, высота CД, медиана АЕ, прямая , точка М построены в системе координат хОу на рисунке 1.

Пример 2 Какую линию определяет уравнение 4х²+9у²+8х-36у+4=0. Построить данную линию в декартовой системе координат.

Решение. Сгруппируем слагаемые, содержащие х и у:

4х²+9у²+8х-36у+4=0.

(4х²+8х)+(9у²-36у)+4=0.

Вынесем за скобки из первого выражения 4, из второго – 9. Получим 4(х²+2х)+9(у²-4у)+4=0. В скобках добавим слагаемые, так чтобы получить формулу квадрата разности или квадрата суммы. Для того, чтобы равенство не изменилось, вычтем эти слагаемые после скобок.

4(х²+2х+1)+9(у²-4у+4)-4-36+4=0

4(х+1)²+9(у-2)²=36.

Поделим обе части равенства на 36, в результате получим:

Данное уравнение определяет эллипс, вершина которого находится в точке С(-1,2), при этом а²=9, следовательно а=3 и в²=4, следовательно в=2. Указанный эллипс построен в прямоугольной системе координат хОу на рисунке 2