О.1.3. (классическое определение вероятности)

ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ

Учебные вопросы

1. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности.
2. Статистическое определение вероятности.

 

Вопрос 1. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности

О.1.1.(качественное определение вероятности)

Вероятностью события называется численная мера степени объективной возможности наступления данного события.

 

Это определение, качественно отражающее понятие вероятности события, не является математическим. Чтобы оно стало таким, необходимо определить его количественно.

Пусть исходы некоторого испытания равновозможны, попарно несовместны и образуют полную группу. Такие исходы называются элементарными исходами, случаями или шансами.

 

При этом говорят, что испытание сводится к классической схеме или схеме случаев.

О.1.2. Исход (случай) называется благоприятствующим (благоприятным) событию А, если появление этого исхода влечет за собой появление события А.

 

Пример 1.

Испытание: бросается игральная кость.

Событие А = {выпадение четного числа очков}.

Благоприятствующие исходы (случаи): выпадение 2 очков, 4 очков, 6 очков.

 

О.1.3. (классическое определение вероятности)

Если испытание сводится к классической схеме, то вероятностью события А называется отношение числа исходов, благоприятствующих событию А, к общему числу всех возможных элементарных исходов испытания, т.е.

, (1)

где Р (А) ‒ вероятность события А; m ‒ число исходов, благоприятствующих событию А; n ‒ число всех возможных элементарных исходов испытания.

 

Наряду с обозначением Р (А) для вероятности события А используется обозначение р, т.е. р = Р (А).

 

Пример 2. Найти вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет четное число очков.

Решение

Событие А = {четное число очков}.

; n = 6; m = 3 (2 очка, 4 очка, 6 очков) Þ

 

Пример 3. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди 6 взятых наудачу деталей 4 стандартных.

Решение

 

Событие А = {среди 6 взятых детали 4 стандартные}.

 

Всего взяли: 6 деталей = 4 стандартных + 2 нестандартных.

Всего имеется: 10 деталей = 7 стандартных + 3 нестандартных.

 

Общее число элементарных исходов испытания:

Число благоприятствующих исходов испытания:

 

 

Из приведенного классического определения вероятности вытекают ее свойства.

 

Свойства вероятности

1. Если А – достоверное событие, то Р (А) = 1.

2. Если А – невозможное событие, то Р (А) = 0.

3. Если А – случайное событие, то 0 < Р (А) < 1.

 

Доказательство

1. m = n Þ

2. m = 0 Þ

3. 0 < m < n и Þ 0 < Р(А) < 1.

 

Вывод: вероятность любого события А удовлетворяет неравенству 0 £ P (A) £ 1.

 

Классическое определение (точнее, классическая формула) вероятности (1) долгое время, с ХVII вплоть до ХIХ века, рассматривалось действительно как определение вероятности, т.к. в то время методы ТВ применялись в основном к азартным играм, которые сводились к классической схеме, или в задачах, которые искусственно сводились к этой схеме. В настоящее время формальное определение вероятности не дается (это понятие считается первичным и не определяется, а при его пояснении используют понятие относительной частоты события).

 

Поэтому классическое определение (классическую формулу) вероятности (1) следует рассматривать не как определение, а как метод вычисления вероятностей для испытаний, сводящихся к классической схеме.