Вопрос 2. Понятие функции, способы задания функций

Пусть даны два числовых множества Х и У.

О.2.1.Если каждому элементу xÎX по некоторому закону f ставится в соответствие единственный элемент yÎY, то говорят, что на множестве Х задана функция y = f(x), принимающая значения во множестве У.

В равенстве y = f(x): x - независимая переменная или аргумент, y - зависимая переменная или функция.

Относительно самих величин х и у говорят, что они находятся в функциональной зависимости.

О.2.2.Множествовсех значений независимой переменной х, т.е. множество Х, для которых определена функция y = f(x), называется областью определения или областью существования функции. Обозначение: D(f), D(y).

О.2.3. Множествовсех значений, которые принимает функция y = f(x) при xÎ D(y), называется областью значений функции.

Обозначение: E(f), E(y).

Пример 1.y = sin x Þ D(y) = R, E(y) = [-1; 1].

О.2.4. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости Оху, координаты которых удовлетворяют равенству y = f(x).

Чтобы задать функцию y = f(x), необходимо указать правило, позволяющее, зная х, находить соответствующее значение у.

Способы задания функции

1. Аналитический (функция задается в виде одной или нескольких формул).

Пример 2. 1) у = х³; 2)

2. Графический (функция задается посредством графика).

Этот способ обычно употребляется в экспериментальных измерениях с употреблением самопишущих приборов (осциллографа, сейсмографа и т.п.).

3. Табличный (функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции).

На практике часто приходится пользоваться таблицами значений функций, полученных опытным путем или в результате наблюдений.

4. Алгоритмический (функция задается в виде алгоритма).

Вопрос 3. Основные характеристики функций

Четность (нечетность)

О.3.1.Функция y = f(x), определенная на множестве Х, называется четной (нечетной), если:

1) для любого xÎX Þ -xÎX (множество Х симметрично относительно 0);

2) f(-x) = f(x) (f(-x) = -f(x)).

График четной функции симметричен относительно оси Оу, а нечетной – относительно начала координат.

Монотонность

О.3.2.Функция y = f(x) называется возрастающей (неубывающей) на промежутке Х, если для любых x₁, х₂ÎX из того, что x₁ < х₂ следует, что f(x₁) < f(x₂) (f(x₁) £ f(x₂)).

О.3.3.Функция y = f(x) называется убывающей (невозрастающей) на промежутке Х, если для любых x₁, х₂ÎX из того, что x₁ < х₂ следует, что f(x₁) > f(x₂) (f(x₁) ³ f(x₂)).

Возрастающие, невозрастающие, убывающие, неубывающие функции на множестве Х называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными.

Ограниченность

О.3.4. Функция y = f(x) называется ограниченной на множестве Х, если существует такое число М>0, что для любого хÎХ: |f(x)| £ М.

Пример 3.

1. y = sin x - ограниченная функция (|sin x| £ 1).

2. у = х² - ограниченная снизу функция (х² ³ 0).

3. у = -х² - ограниченная сверху функция (-х² £ 0).

Периодичность

О.3.5. Функция y = f(x), определенная на множестве Х, называется периодической на этом множестве, если существует такое число Т>0, что для любого хÎХ: (х + Т)ÎХ и f(x + Т) = f(x). Число Т называется периодом функции.

Т.3.1. Если функция y = f(x) имеет период Т, то и любое число вида kT (kÎZ) так же является ее периодом.

Пример 4. y = sin x Þ Т = 2pk (kÎZ).