Арифметические операции над комплексными числами

Пусть , или в тригонометрической форме ,

Сложение и вычитание

.

Умножение

. С учетом того, что , получим окончательное выражение для произведения:

.

Получим формулу для произведения двух комплексных чисел в тригонометрической форме:

т.е.

.

В случае комплексно-сопряженных чисел

Деление

, откуда

.

В тригонометрической форме: .

Возведение в степень

С учетом формулы для произведения комплексных чисел в тригонометрической форме

. В общем случае справедлива следующая формула:

,

где - целое положительное число. Это выражение называется формулой Муавра.

Извлечение корня

Возводя в n-ю степень, получим:

Отсюда: .

В итоге получим:

Если , то , , то , … , то , , то , , то , …

Таким образом, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных значений при . При значения корня начинают повторяться.

Пример

Пусть ; . Найти: , , , , .

Решение

1) .

2) .

3) .

4) .

5) .

6) Общая формула для корня -ой степени из комплексного числа :

.

В нашем случае , тогда (поскольку извлекается корень 3-ей степени), , , откуда . Как было сказано выше, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных значений при , то есть в нашем случае – три различных значения при . Тогда:

;

;

.