Полярная система координат

Комплексные числа

Определение Комплексным числом называется выражение , где и – действительные числа, – мнимая единица. При этом называется действительной частью числа (), а - мнимой частью числа ().

Если , то число будет чисто мнимым, если , то число будет действительным.

Определение Числа и называются комплексно-сопряженными.

Определение Два комплексных числа и называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части: .

Определение Комплексное число равно нулю, если равны нулю его действительная и мнимая части:

Понятие комплексного числа имеет геометрическую интерпретацию. Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел за счет включения множества мнимых чисел. Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа. При этом горизонтальная ось будет являться действительной числовой осью, а вертикальная - мнимой осью. Таким образом, на оси располагаются действительные числа, а на оси – чисто мнимые.

Полярная система координат

Полярная система координат на плоскости задается точкой , которая называется полюсом, и лучом, который называется полярной осью. Координатами точки в полярной системе координат являются расстояние точки от полюса и угол между полярной осью и радиус-вектором этой точки. Этот угол называется полярным углом.

Можно установить связь между полярной системой координат и декартовой прямоугольной системой, если поместить начало декартовой прямоугольной системы в полюс, а полярную ось направить вдоль положительного направления оси :

Из геометрических соображений видно, что координаты точки в декартовой и полярной системах координат связываются соотношениями: ; ; ; . Тогда комплексное число можно переписать в виде: .

Такая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа. При этом величина называется модулем комплексного числа, а угол наклона - аргументом комплексного числа.

Очевидно, что комплексно-сопряженные числа имеют одинаковые модули и противоположные аргументы.