Свойства определителей

1. Для любой квадратной матрицы порядка п

Тем самым определитель может быть вычислен не только с помощью разложения по первой строке (как в исходном определении), но и с помощью разложения по первому столбцу.

Доказательство

Для матриц второго порядка это свойство легко проверяется. Допустим, что доказываемое свойство имеет место для матриц порядка п – 1. Докажем, что оно выполняется для матриц порядка п. В силу определения имеем:

(1)

Пользуясь предположением индукции, вычислим M ₁ _j, 2 ≤ j ≤ n, с помощью разложения по первому столбцу. Тогда

где (M ₁ _j) _i ₁ – определитель, получаемый из матрицы А вычеркиванием 1-ой строки и j -го столбца, а также i -й строки и 1-го столбца. Подставляя это выражение в (1), получаем:

В силу того, что

имеем:

Треугольной матрицей называется матрица вида

(2)

Упражнение 5.

Вычислим определитель треугольной матрицы, разлагая его по первому столбцу. В силу того, что в первом столбце только один элемент отличен от нуля, имеем:

Продолжая этот процесс, получим:

Таким образом, определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

Матрицей, транспонированной к матрице А = || a_ij || размера т×п, называется матрица А^Т = || b_ij || размера п×т, где b_ij = a_ji. Иными словами, чтобы из исходной матрицы получить транспонированную, надо ее строки поставить в соответствующие столбцы.

Пример 5. Пусть

Тогда

Упражнение 6. Для

найти А^Т и (А ²) ^Т.

Решение.

Матрицу А^Т получим из матрицы А следующим образом: элементы 1-ой строки матрицы А образуют 1-ый столбец матрицы А^Т, элементы 2-ой строки А – 2-ой столбец А^Т, элементы 3-ей строки А – 3-ий столбец А^Т:

Найдем матрицу А ²:

Тогда

2. Для любой квадратной матрицы А | A | = | A^T |.

Доказательство.

где M ₁ _i ^* - определитель, получаемый из матрицы А^Т вычеркиванием i -ой строки и 1-го столбца. В силу предположения индукции M ₁ _i ^*= M ₁ _i. Тем самым

Из свойства 2 вытекает равноправность строк и столбцов, т.е. если какое-либо утверждение об определителе доказано относительно строк, то оно верно и относительно столбцов. Далее в силу сказанного все свойства будут доказываться лишь для строк.

3. Если в квадратной матрице поменять местами какие-либо две строки (или столбца), то определитель изменит знак, а модуль его значения не изменится.

Доказательство.

Докажем сначала это свойство для двух соседних строк. Снова воспользуемся методом полной индукции. Для матрицы 2-го порядка это свойство легко проверяется. Предположим, что перестановка двух соседних строк меняет знак определителя порядка п – 1. Пусть в матрице

переставляются строки с номерами k и k + 1. Матрицу с переставленными строками обозначим через

Напишем разложение определителей этих двух матриц по первому столбцу:

При i ≠ k,k + 1 в силу предположения индукции N_i ₁ = - M_i ₁. Остается заметить, что N_k ₁ = M_k _+1,1, a N_k _+1,1 = M_k ₁. Тогда

Пусть теперь в матрице переставляются строки с номерами i и j, i < j. Перестановку этих строк можно осуществить, переставляя только соседние строки, следующим образом. Сначала j -я строка последовательно переставляется с j – i строками, стоящими над ней, а затем i -я строка последовательно переставляется с j – i - 1 строками, стоящими под ней. Всего будет переставлено 2(j – i) – 1 соседних строк. Поэтому определитель нечетное число раз будет менять знак и в результате поменяет знак.

Следствие 2.1. Если у квадратной матрицы А имеются две одинаковые строки (столбца), то | A | = 0.

Доказательство.

Пусть у матрицы А имеются две одинаковые строки. Поменяв их местами, получим ту же самую матрицу, но по свойству 3 ее определитель должен поменять знак, т.е. получаем, что | A | = - | A |, что возможно только при | A | = 0.

4. Определитель матрицы может быть разложен по любой строке или столбцу, то есть имеют место равенства

Доказательство.

Как уже отмечалось, в силу равноправности строк и столбцов достаточно доказать разложимость по любой строке. Положим

Матрицу В можно получить из матрицы А, последовательно меняя k -ю строку со строками, находящимися над ней. Поскольку таких перестановок будет k – 1 (столько строк лежит выше k -ой строки), то по свойству 3

| A | = (-1) ^k ^{– 1} | B |.

Вычислим теперь определитель матрицы В с помощью разложения по первой строке:

Нетрудно убедиться, что N ₁ _j = M_kj, j = 1,..., n. Поэтому

Алгебраическим дополнением элемента a_ij называется величина

A_ij = (-1) ^i+jM_ij.

Равенства в свойстве 4 могут быть записаны через алгебраические дополнения:

(5)

Пример 6. Вычислим определитель из примера 4, разлагая его по третьему столбцу (в нем больше всего нулей):

Упражнение 7. Вычислить определитель

Решение.

Наиболее удобно вычислять этот определитель разложением по 3-му столбцу (при этом потребуется вычислить только один определитель 3-го порядка):

Линейной комбинацией матриц А ₁, …, А_т одинакового размера называется матрица А = l ₁ А ₁ + … + l_тА_т, где l ₁, …, l_т – некоторые числа. В случае, если матрицы А ₁, …, А_т имеют размеры 1 × п, говорят о линейной комбинации строк, а если размеры этих матриц п × 1, то говорят о линейной комбинации столбцов.

5. Если у квадратной матрицы А i-я строка (столбец) есть линейная комбинация строк (столбцов) А_i′ и А_i′′, т.е. имеет вид l ₁ А_i′ + l ₂ A_i′′, то | A | = l ₁| A ′| + l ₂| A ′′|, где А′ и А′′ - матрицы, у которых i-е строки (столбцы) заменены на А_i′ и А_i′′ соответственно.

Доказательство.

Пусть

Тогда, разлагая определитель матрицы А по i -ой строке, будем иметь:

Положив в этом свойстве l ₂ = 0, получаем

Следствие 2.2. При умножении строки (столбца) квадратной матрицы на число ее определитель умножается на это число.

Упражнение 8. Пусть А – квадратная матрица порядка п с определителем | A |, a l – число. Найти | lA |.

Решение.

Если

Поэтому, используя следствие 2.2, можно сказать, что определитель | lA | получается из определителя | A | при умножении каждой из п строк матрицы на число l, следовательно, | lA | = lⁿ | A |.

Умножив строку (столбец) на l = 0, из следствия 2.2 получаем

Следствие 2.3. Если в квадратной матрице А имеется строка (столбец) с нулевыми элементами, то |A| = 0.

6. Определитель не изменится, если к любой строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на произвольное число.

Доказательство.

Предположим, что к i -ой строке матрицы A = || a_ij || прибавлена k -ая строка, умноженная на число l. Тогда по свойству 5, следствию 2.2 и следствию 2.1

Пример 7. Вычислим определитель матрицы

с помощью свойства 6. Вычтем из третьего столбца первый, а к четвертому столбцу прибавим первый, умноженный на 2. После этого разложим полученный определитель по второй строке. Имеем:

В определителе третьего порядка вынесем множитель 2 из второго столбца:

Теперь прибавим ко второй строке первую, умноженную на 2, и вычтем из третьей строки первую:

Упражнение 9. Вычислить определитель матрицы

пользуясь свойствами определителей.

Решение.

Приведем определитель матрицы А к треугольному виду. Для этого поменяем в нем местами 1-ую и 2-ую строки (при этом по свойству 3 определитель поменяет знак), а затем 1-ый и 2-ой столбец (определитель вновь поменяет знак, то есть окажется равным | A |). Получим:

Теперь вычтем из 2-ой строки 1-ую, умноженную на 2 (по свойству 6 определитель при этом не изменится):

Преобразуем определитель так, чтобы элемент а ₄₂ стал равным нулю. Для этого умножим 4-ю строку на 5 (тем самым по следствию 2.2 весь определитель умножится на 5) и вычтем из нее 2-ую строку, умноженную на 2: