Операции над матрицами

1. Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы на число называется матрица , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы на число , т.е. для ; .

Следствие. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

В частности, произведение матрицы А на число 0 есть нулевая матрица, т.е .

2. Сложение матриц.

Суммой двух матриц и одинакового размера называется матрица , каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц и , т.е. для ; (т.е. матрицы складываются поэлементно).

3. Вычитание матриц.

Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции: .

Умножение матриц.

Произведение матриц и определено, когда число столбцов матрицы равно числу матрицы . Произведением матриц называетсятакая матрица , каждый элемент которой равен суммепроизведений элементов -й строки матрицы на соответствующие элементы -го столбца матрицы : , ; .

(Иными словами, матрицы умножаются строка на столбец).

Операции над матрицами обладают следующими свойствами:

1) ;

2) ;

3) .

4) ;

5) ;

6) ;

7) .

Однако имеются и специфические свойства матриц. Так, операция умножения матриц имеет некоторые отличия от умножения чисел:

а) Если произведение матриц существует, то после перестановки сомножителей местами произведения матриц может и не существовать.

б) Если даже произведения и существуют, то они могут быть матрицами разных размеров.

в) В случае, когда оба произведения и существуют и оба - матрицы одинакового размера (это возможно только при умножении квадратных матриц и одного порядка), коммутативный (переместительный) закон умножения, вообще говоря, не выполняется, т.е. .

В частном случае коммутативным законом обладает произведение любой квадратной матрицы -го порядка на единичную матрицу того же порядка, причем это произведение равно :

Таким образом, единичная матрица играет при умножении матриц ту же роль, что и число 1 при умножении чисел.

г) Произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой матрице, т.е. из того, что , не следует, что или .

5. Возведение в степень. Целой положительной степенью квадратной матрицы называется произведение матриц, равных , т.е.

Заметим, что операция возведения в степень определена только для квадратных матриц. Полагают , . Нетрудно показать, что , . Если , то это не означает, что матрица .

6. Транспонирование матрицы - переход от матрицы к матрице , в которой строки и столбцы поменяны местами с сохранением порядка. Матрица называется транспонированной относительно матрицы :