2017-10-25
481
ТЕМА. ПОСЛІДОВНІ НЕЗАЛЕЖНІ ВИПРОБОВУВАННЯ І СХЕМА БЕРНУЛЛІ
Мета. Навчитися знаходити ймовірності числа успіхів залежно від значень числа випробовувань та ймовірності успіху з використанням формул Бернуллі, Лапласа, Пуассона та застосуванням відповідних таблиць.
Обладнання. Комп‘ютер і таблиці обчислення значень функції 
, 
, 
і 
Теоретичні відомості
1. Якщо всі п випробувань (експериментів) проводяться в однакових умовах і ймовірність появи події А в кожному випробуванні є однакова (не залежить ві появи чи не появи події А в інших випробуваннях), то таку послідовність незалежних випробувань називають схемою Бернуллі.
2. Імовірність Рп (т) появи події А т разів у п випробуваннях (експериментах) за схемою Бернуллі обчислюється за формулою Бернуллі:
де р=Р (А) – ймовірність появи події А в окремому випробуванні, q=1- p=P (
), Спт - число комбінацій з п елементів по т елементів.
3. Імовірність Рn (k ≤ m) появи події А не більше ніж т разів у п випробуваннях за схемою Бернуллі обчислюється за формулою:
|
|
|
Рn (k ≤ m) = Рn (0) + Рn (1) + … + Рn (m).
Імовірність Рn (k ≥ m) появи події А не менше ніж т разів у п випробуваннях за схемою Бернуллі обчислюється за формулою:
Рn (k ≥ m) = Рn (m) + Рn (m+ 1) + … + Рn (п).
4. Найбільш імовірне число т 0 появи події А в п випробуваннях за схемою Бернуллі визначається співвідношенням:
np - q ≤ m 0 ≤ np + q,
де р=Р (А), q=1- p=P () і число m 0 ≥ 0 є цілим.
5. Якщо число п випробувань у схемі Бернуллі є велике, а ймовірність р=Р (А) мала, то ймовірність Рп (т) появи події А т разів у п випробуваннях за схемою Бернуллі доцільно обчислювати за формулою Пуассона:
де а = пр.
6. Функція вигляду 
називається диференціальною функцією Лапласа.
Значення цієї функції часто використовуються і вони наведені в таблиці для 0 ≤ х ≤ 3,99. Для значень х ≥ 4, х ≤ -4 приймають, що 
, а для від’ємних значень аргументу х використовують парність функції 
7. Локальна теорема Лапласа. Якщо у схемі Бернуллі кількість випробувань п досить велика, імовірність р=Р (А) появи події А у цих випробуваннях однакова і 0< p <1, то ймовірність Рп (т) появи події А т разів у п випробуваннях обчислюється за наближеною формулою:
де 
Цю формулу доцільно використовувати, коли п ≥ 100, 
(р ≥ 0,1).
8. Функцію вигляду 
називають інтегральною функцією Лапласа.
Ця функція також часто використовується на практиці, тому її значення для 0 ≤ х < 5 є наведені у відповідній таблиці. Для х ≥ 5 приймаємо, що Ф(х) = 0,5, а для від’ємних значень аргументу х використовуємо непарність цієї функції: Ф(- х) = -Ф(х).
9. Інтегральна теорема Муавра-Лапласа. Якщо у схемі Бернуллі в кожному з п незалежних випробувань подія А може з’явитись з однаковою ймовірністю р=Р (А) і 0< p <1, то ймовірність Рп (т 1≤ т ≤ т 2) появ події А в цих випробуваннях не менше ніж т 1 разів і не більше, ніж т 2 разів обчислюється за формулою:
|
|
|
Рп (т 1 ≤ т ≤ т 2) = Ф(х 2) – Ф(х 1),
де 
10. Імовірність того, що при п незалежних випробуваннях за схемою Бернуллі відхилення відносної частоти 
випадкової події А від імовірності р=Р (А) цієї події не перевищує числа ε > 0, обчислюється за формулою:
Завдання 1. У лабораторії є 8 комп‘ютерів. Ймовірність того, що у певний момент часу для роботи використовують комп‘ютер становить 0,5+0,01*к, тут і надалі к – порядковий номер студента в академічному журналі групи. Знайти ймовірність того, що у даний час працює:
- 4 комп‘ютери;
- менше, ніж 4 комп‘ютери;
- більше, ніж 4 комп‘ютери;
- не менше, ніж 4 комп‘ютери;
- не більше, ніж 4 комп‘ютери.
Зауваження! Використовувати раціональні підходи для відповідей на питання.
Завдання 2. Кубик кидають (100+2*к) разів. Знайти ймовірність того, що випаде:
- число кратне 3 випаде в половині випадків;
- в межах від 30 до (50+к) підкидань кубика.
Завдання 3. Робітниця прядильного цеху обслуговує 800 веретен. Ймовірність обриву пряжі в кожному з веретен за час Т становить 0,005+0,001*к. Знайти ймовірність того, що за час Т буде:
- 10к обривів;
- не більше, ніж 10+к обривів і не менше, ніж (20+к) обривів.
Завдання 4. Скільки разів треба кинути монету, щоб з ймовірністю 0,72+0,01к відносна частота випадань «герба» відхилилась від ймовірності появи «герба» не більше, ніж на 0,001к.
Рекомендації до виконання і оцінювання завдань.
Для звіту кожне завдання обов‘язково повинно містити необхідний теоретичний матеріал з відповідними поясненнями. За це нараховується половина балів. Інша частина балів розподіляється пропорційно числу запитань завдання.
Всі обчислення повинні бути виконанні під час проведення заняття. В протилежному випадку – при остаточному оцінюванні завдань лабораторної роботи знімається половина балів.
ДЛЯ ЗАМІТОК
ДЛЯ ЗАМІТОК
