Моделирование тенденции и сезонных колебаний

Временного ряда

 

Распространенным способом моделирования тенденции временного ряда является построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени, или тренда. Этот способ называют аналитическим выравниванием временного ряда.

Поскольку зависимость от времени может принимать разные формы, для ее формализации можно использовать различные виды функций. Для построения трендов чаще всего применяются следующие функции:

линейный тренд: ;

гипербола: ;

экспоненциальный тренд: (или );

степенная функция: ;

полиномы различных степеней: .

Параметры каждого из перечисленных выше трендов можно определить обычным МНК, используя в качестве независимой переменной время а в качестве зависимой переменной – фактические уровни временного ряда . Для нелинейных трендов предварительно проводят стандартную процедуру их линеаризации.

Существует несколько способов определения типа тенденции. К числу наиболее распространенных способов относятся качественный анализ изучаемого процесса, построение и визуальный анализ графика зависимости уровней ряда от времени. В этих же целях можно использовать и коэффициенты автокорреляции уровней ряда. Тип тенденции можно определить путем сравнения коэффициентов автокорреляции первого порядка, рассчитанных по исходным и преобразованным уровням ряда. Если временной ряд имеет линейную тенденцию, то его соседние уровни и тесно коррелируют. В этом случае коэффициент автокорреляции первого порядка уровней исходного ряда должен быть высоким. Если временной ряд содержит нелинейную тенденцию, например, в форме экспоненты, то коэффициент автокорреляции первого порядка по логарифмам уровней исходного ряда будет выше, чем соответствующий коэффициент, рассчитанный по уровням ряда. Чем сильнее выражена нелинейная тенденция в изучаемом временном ряде, тем в большей степени будут различаться значения указанных коэффициентов.

Выбор наилучшего уравнения в случае, когда ряд содержит нелинейную тенденцию, можно осуществить путем перебора основных форм тренда, расчета по каждому уравнению скорректированного коэффициента детерминации и средней ошибки аппроксимации. Этот метод легко реализуется при компьютерной обработке данных.

Простейший подход к моделированию сезонных колебаний – это расчет значений сезонной компоненты методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда.

Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты.

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений , и для каждого уровня ряда.

Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.

1) Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.

2) Расчет значений сезонной компоненты .

3) Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных в аддитивной или в мультипликативной модели.

4) Аналитическое выравнивание уровней или и расчет значений с использованием полученного уравнения тренда.

5) Расчет полученных по модели значений или .

6) Расчет абсолютных и/или относительных ошибок. Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.

Методику построения каждой из моделей рассмотрим на примере.

Пример 1. Имеются условные данные об объемах потребления электроэнергии () жителями региона за 16 кварталов.

Требуется:

1. Построить автокорреляционную функцию и сделать вывод о наличии сезонных колебаний.

2. Построить аддитивную модель временного ряда.

3. Сделать прогноз на 2 квартала вперед.

Таблица 2

	5,5		8,3
	4,8		5,4
	5,1		6,4
	9,0		10,9
	7,1		9,0
	4,9		6,6
	6,1		7,5
	10,0		11,2

 

1. Построение автокорреляционной функции.

Построим поле корреляции.

 

Рис 1. Корреляционное поле

 

Рассчитаем несколько последовательных коэффициентов автокорреляции.

Формула для расчета коэффициента автокорреляции первого порядка:

, где , .

 

Составим вспомогательную таблицу.

Таблица 3

	5,5	–	–	–	–	–	–
	4,8	5,5	-2,69	-1,61	4,32	7,22	2,58
	5,1	4,8	-2,39	-2,31	5,51	5,70	5,32
	9,0	5,1	1,51	-2,01	-3,04	2,29	4,03
	7,1	9,0	-0,39	1,89	-0,73	0,15	3,58
	4,9	7,1	-2,59	-0,01	0,02	6,69	0,00
	6,1	4,9	-1,39	-2,21	3,06	1,92	4,87
	10,0	6,1	2,51	-1,01	-2,53	6,32	1,01
	8,3	10,0	0,81	2,89	2,35	0,66	8,37
	5,4	8,3	-2,09	1,19	-2,49	4,35	1,42
	6,4	5,4	-1,09	-1,71	1,85	1,18	2,91
	10,9	6,4	3,41	-0,71	-2,41	11,65	0,50
	9,0	10,9	1,51	3,79	5,74	2,29	14,39
	6,6	9,0	-0,89	1,89	-1,68	0,79	3,58
	7,5	6,6	0,01	-0,51	-0,01	0,00	0,26
	11,2	7,5	3,71	0,39	1,46	13,79	0,15
Сумма	112,3	106,6	0,00	0,00	11,42	65,00	52,99
Среднее значение	7,49	7,11	–	–	–	–	–

 

Следует заметить, что среднее значение получается путем деления не на 16, а на 15, т.к. у нас теперь на одно наблюдение меньше.

Теперь вычисляем коэффициент автокорреляции первого порядка:

Коэффициент автокорреляции второго порядка определяется по формуле:

, где ,

 

Составляем новую расчетную таблицу.

Таблица 4

	5,5	–	–	–	–	–	–
	4,8	–	–	–	–	–	–
	5,1	5,5	-2,58	-1,58	4,07	6,65	2,49
	9,0	4,8	1,32	-2,28	-3,01	1,75	5,19
	7,1	5,1	-0,58	-1,98	1,14	0,33	3,91
	4,9	9,0	-2,78	1,92	-5,34	7,72	3,69
	6,1	7,1	-1,58	0,02	-0,03	2,49	0,00
	10,0	4,9	2,32	-2,18	-5,06	5,39	4,75
	8,3	6,1	0,62	-0,98	-0,61	0,39	0,96
	5,4	10,0	-2,28	2,92	-6,66	5,19	8,53
	6,4	8,3	-1,28	1,22	-1,56	1,63	1,49
	10,9	5,4	3,22	-1,68	-5,41	10,38	2,82
	9,0	6,4	1,32	-0,68	-0,90	1,75	0,46
	6,6	10,9	-1,08	3,82	-4,12	1,16	14,60
	7,5	9,0	-0,18	1,92	-0,34	0,03	3,69
	11,2	6,6	3,52	-0,48	-1,69	12,40	0,23
Сумма	107,50	99,10	0,00	0,00	-29,51	57,26	52,82
Среднее значение	7,68	7,08	–	–	–	–	–

 

Теперь вычисляем коэффициент автокорреляции второго порядка:

.

Аналогично находим коэффициенты автокорреляции более высоких порядков, а все полученные значения заносим в сводную таблицу.

Автокорреляционная функция:

Таблица 5

Лаг	Коэффициент автокорреляции уровней
	0,195
	–0,537
	0,143
	0,977
	0,140
	–0,682

 

Анализ автокорреляционной функции и графика исходных уровней временного ряда позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряде сезонных колебаний периодичностью в четыре квартала (наиболее значительным оказался коэффициент автокорреляции 4-го порядка).

2. Построение аддитивной модели временного ряда.

Общий вид аддитивной модели следующий:

.

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой (), сезонной () и случайной () компонент.

Построение аддитивной модели сводится к расчету значений , и для каждого уровня временного ряда.

Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.

7) Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.

8) Расчет значений сезонной компоненты .

9) Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных () в аддитивной модели.

10) Аналитическое выравнивание уровней () и расчет значений с использованием полученного уравнения тренда.

11) Расчет полученных по модели значений ().

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:

1.1. Просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени и определим условные годовые объемы потребления электроэнергии.

1.2. Разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние. Полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.

1.3. Приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние.

Таблица 6

№ квартала,	Потребление электроэнергии,	Итого за четыре квартала	Скользящая средняя за четыре квартала	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты
	5,5	–	–	–	–
	4,8	24,40	6,10	–	–
	5,1	26,00	6,50	6,30	-1,20
	9,0	26,10	6,53	6,51	2,49
	7,1	27,10	6,78	6,65	0,45
	4,9	28,10	7,03	6,90	-2,00
	6,1	29,30	7,33	7,18	-1,08
	10,0	29,80	7,45	7,39	2,61
	8,3	30,10	7,53	7,49	0,81
	5,4	31,00	7,75	7,64	-2,24
	6,4	31,70	7,93	7,84	-1,44
	10,9	32,90	8,23	8,08	2,83
	9,0	34,00	8,50	8,36	0,64
	6,6	34,30	8,58	8,54	-1,94
	7,5	–	–	–	–
	11,2	–	–	–	–

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними. Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты . Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты .

Таблица 7

Показатели	Год	№ квартала,
I	II	III	IV
		–	–	–1,20	2,49
	0,45	–2,00	–1,08	2,61
	0,81	–2,24	–1,44	2,83
	0,64	–1,94	–	–
Всего за -й квартал		1,90	–6,18	–3,72	7,93
Средняя оценка сезонной компоненты для -го квартала,		0,63	–2,06	–1,24	2,64
Скорректированная сезонная компонента,		0,64	–2,05	–1,23	2,65

 

В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимно погашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.

Для данной модели имеем: .

Корректирующий коэффициент: .

Рассчитываем скорректированные значения сезонной компоненты () и заносим полученные данные в таблицу.

Шаг 3. Исключим влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины . Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Таблица 8

	5,5	0,64	4,86	5,82	6,46	-0,96	0,9216
	4,8	-2,05	6,85	6,02	3,97	0,83	0,6889
	5,1	-1,23	6,33	6,23	5,00	0,10	0,0100
	9,0	2,65	6,35	6,43	9,08	-0,08	0,0064
	7,1	0,64	6,46	6,64	7,28	-0,18	0,0324
	4,9	-2,05	6,95	6,85	4,80	0,10	0,0100
	6,1	-1,23	7,33	7,05	5,82	0,28	0,0784
	10,0	2,65	7,35	7,26	9,91	0,09	0,0081
	8,3	0,64	7,66	7,46	8,10	0,20	0,0400
	5,4	-2,05	7,45	7,67	5,62	-0,22	0,0484
	6,4	-1,23	7,63	7,87	6,64	-0,24	0,0576
	10,9	2,65	8,25	8,08	10,73	0,17	0,0289
	9,0	0,64	8,36	8,29	8,93	0,07	0,0049
	6,6	-2,05	8,65	8,49	6,44	0,16	0,0256
	7,5	-1,23	8,73	8,70	7,47	0,03	0,0009
	11,2	2,65	8,55	8,90	11,55	-0,35	0,1225

Шаг 4. Определим компоненту данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда () с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие: .

Подставляя в это уравнение значения 1,2,…,16, найдем уровни для каждого момента времени.

Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов.

На одном графике отложим фактические значения уровней временного ряда и теоретические, полученные по аддитивной модели.

Рис 2. Корреляционное поле

 

Для оценки качества построенной модели применим сумму квадратов полученных абсолютных ошибок.

.

Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 97% общей вариации уровней временного ряда по кварталам за 4 года.

3. Прогнозирование по аддитивной модели.

Прогнозное значение уровня временного ряда в аддитивной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент. Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда

 

Получим

Значения сезонных компонент за соответствующие кварталы равны: и . Таким образом,

Т.е. в первые два квартала следующего года следует ожидать потребления электроэнергии в объеме 9,75 и 7,27 единиц соответственно.