Созданных системой проводящих электродов

Для создания электростатических полей обычно применяется система металлических электродов, часть которых (или все) находятся под определенными потенциалами . Распределение зарядов при этом неизвестно, что не позволяет применить принцип суперпозиции (1.35) для напряженностей электростатического поля. Поэтому необходимо использовать уравнения непосредственно для потенциала j. Рассмотрим их для примера плоского (двухмерного) поля, когда

, . (1.12)

Применим теорему Гаусса

, (1.13)

для электростатического поля к кубу с ребрами , параллельными осям координат, расположенному вне электродов и электрических зарядов на них (рис. 1.5). Объем куба , площадь грани .

 

Рис. 1.5. Применение теоремы Гаусса для плоского (двумерного) электрического поля

 

(1.14)

Отношение потока вектора через поверхность к объему называется дивергенцией вектора . В данном случае

, (1.15)

где – составляющая вектора , направленная вдоль нормали к грани параллелепипеда. Уравнение (1.15) является частным случаем одного из уравнений Максвелла (при отсутствии зарядов)

(1.16)

Из формулы (1.11) следует

. (1.17)

Подстановка последних выражений в уравнение (1.15) приводит к двумерному уравнению Лапласа

. (1.18)

Функции, являющиеся решениями уравнения Лапласа

. (1.19)

называются гармоническими функциями, они играют важную роль во многих задачах физики и математики.

Для получения единственного решения уравнение Лапласа (1.18) должно быть дополнено граничными условиями. В частности, на поверхности проводящих (металлических) электродов потенциал постоянен и равен поданному на него потенциалу

, (1.20)

где – уравнения линий, описывающих форму электродов. В некоторых случаях задается значение производной по нормали к линии . Например, задается нулевое значение такой производной

. (1.21)

Задачи, подобные (1.18), (1.20), (1.21) называются краевыми задачами. Их аналитическое решение возможно не всегда, поэтому часто приходится применять компьютерные вычисления.

В качестве примера рассмотрим поле, созданное двумя плоскими электродами М и N на токопроводящей бумаге прямоугольной формы. Пусть данному случаю отвечают граничные условия:

на электроде M 0, (1.22)

на электроде N , (1.23) на краях токопроводящей бумаги . (1.24)

Последнее условие вызвано следующим. Вблизи края токопроводящей бумаги электрический ток, обусловленный направленным движением электронов, направлен параллельно краю. Следовательно, и вектор напряженности электрического поля также направлен параллельно краям листа, а его составляющая, направленная вдоль нормали к краю, равна нулю

. (1.25)

Это условие называют условием отражающего экрана.

Решение уравнения Лапласа (1.18) для двух плоских электродов и граничных условий (1.29)-(1.31)

, (1.26)

линейно зависит лишь от одной переменной. Поэтому его можно представить в виде

, (1.27)

где

(1.28)

Из последнего выражения находится .

 

3. Экспериментальная установка

Схема экспериментальной установки изображена на рис. 1.6. Для фиксации эквипотенциальных поверхностей используется чистый лист бумаги, на который кладется копировальная бумага. Сверху помещается электропроводящая бумага, на которую устанавливаются электроды М и N. При замыкании ключа К между ними создается разность потенциалов 8, 9 В и протекает слабый электрический ток.

Опущенный на лист токопроводящей бумаги в некоторой точке тонкий металлический зонд Z приобретает потенциал поля в этой точке и мало изменяет распределение потенциала в бумаге. Значение потенциала зонда Z относительно электрода М определяется вольтметром V. Зонд соединен с выводом R потенциометра через гальванометр Г. Перемещением движка потенциометра, можно изменять разность потенциалов между точкой R и электродом М. При наличии ненулевой разности потенциалов между точками Z и R через гальванометр Г идет электрический ток. Если потенциал точки поля равен потенциалу зонда, то тока в цепи Z - Г - R не будет, а стрелка гальванометра Г будет стоять на нуле. Положения зонда с нулевыми токами гальванометра при фиксированном положении движка потенциометра, лежат на одной и той же эквипотенциальной линии. Фиксация формы и положения эквипотенциальной линии изучаемого поля производится графически. При нажатии концом зонда на лист токопроводящей бумаги и лежащий под ним лист копировальной бумаги на нижнем чистом листе появляется отпечаток. Таким образом, зондом можно обследовать все поле и построить несколько точек эквипотенциальной линии. Соединяя точки плавной кривой можно воспроизвести на бумаге геометрическую форму исследуемой эквипотенциальной линии. Аналогично, устанавливая движком делителя напряжения R другой потенциал и, перемещая зонд по листу электропроводящей бумаги, находится положение другой эквипотенциальной линии и т.д.

Для получения полей различной конфигурации следует менять форму электродов. Поле между электродами можно изменить, поместив в него металлическое кольцо или другой предмет.