Линейные (векторные) пространства. Линейная зависимость

Будем называть линейным (векторным) пространством, а его элементы – векторами, если выполнены следующие свойства этих операций:

1) - коммутативность сложения;

2) - ассоциативность сложения;

3) - существование нулевого элемента (чтобы различать нулевой элемент из и ноль из R, первый будем обозначать );

4) - существование противоположного элемента;

5) R ;

6) R - два свойства дистрибутивности;

7) R - ассоциативность умножения на число;

8) - умножение на R.

Из этих свойств легко выводятся некоторые следствия.

1) Единственность нулевого элемента в . Действительно, пусть и - два нулевых элемента. Тогда , так как - нулевой элемент, с другой стороны, , так как - нулевой элемент. Значит, =.

2) Единственность противоположного элемента для .

3) R . Действительно, , значит, .

4) .

5) Если , то выполняется хотя бы одно из равенств или .

Доказательства свойств 2,4,5 просты, оставим их в качестве легких упражнений.

Если в определении векторного пространства множество действительных чисел R заменить на множество комплексных чисел С, то получим комплексное векторное пространство. Мы пока будем рассматривать линейные пространства над R, но все, что будет изложено, легко переносится на комплексный случай

Заметим, что определение линейного пространства носит аксиоматический характер: мы ничего не говорим о природе элементов этого пространства, а лишь описываем свойства операций в этом пространстве. Природа же элементов может быть самой различной. Приведем несколько примеров.

а). Первый пример – самый естественный: геометрические векторы с операцией сложения по правилу параллелограмма и умножения на число.

б). Очень важный пример – так называемое арифметическое линейное пространство R ⁿ – множество строк длины . Его элементами являются наборы из действительных чисел . Операции сложения и умножения на число вводятся покомпонентно, т.е. если , , то . Аксиомы векторного пространства выполняются – проверьте!

Вместо строк длины можно рассматривать столбцы высоты . Очевидно, что по существу это будет то же самое пространство R ⁿ, отличается лишь форма записи элементов пространства.

в). Множество всех последовательностей N. Операции сложения и умножения на число задаются покомпонентно: если , то

г). Множество всех функций на отрезке . Операции сложения и умножения на число зададим поточечно:

Продумайте сами, что является нулевым элементом в этих примерах, какой элемент является противоположным данному элементу.

Задача. Являются ли данные множества линейными пространствами:

1) множество всех многочленов третьей степени с обычными операциями сложения и умножения на число;

2) множество четных функций на отрезке с обычными операциями сложения и умножения на число;

3) множество положительных действительных чисел с операциями: сложение , умножение на число ;

4) множество квадратных матриц порядка с операциями: сложение , умножение на число ?

Пусть - линейное пространство и , причем само является линейным пространством (с теми же операциями, что и в ). Тогда называют подпространством . Так, например, множество векторов, параллельных данной прямой, является подпространством множества всех векторов.