2014-01-27
762
Базис.
Определение. Упорядоченное множество векторов 
образует базис пространства 
, если:
1) векторы линейно независимы,
2) любой вектор пространства линейно выражается через векторы .
Равенство 
называется разложением вектора 
по базису . Коэффициенты 
называются координатами вектора в базисе .
Теорема. Пусть - базис пространства . Тогда для любого вектора из разложение по базису единственно.
Доказательство. Пусть и 
. Тогда
- 
=
,
=.
Но векторы линейно независимы, поэтому 
для всех 
. Теорема доказана.
Пример. В арифметическом линейном пространстве R n система векторов
образует базис, т.к. эти векторы линейно независимы и любой вектор 
линейно выражается через них: .
Этот базис не единственный.
Задача. Докажите, что множество векторов
тоже образует базис.
Определение. Линейное пространство называется 
-мерным, если в нем существует базис из векторов. Линейное пространство называется бесконечномерным, если в нем существует любое число линейно независимых векторов.
Обозначение: 
.
Очевидно, что в -мерном пространстве любая система из 
векторов линейно зависима.
Вспомним некоторые примеры линейных пространств.
1).
R n 
.
2). Пространство последовательностей бесконечномерно. Чтобы это показать, рассмотрим бесконечное множество элементов этого пространства 
N:
Любая конечная система таких векторов линейно независима.
5.5. Ранг системы векторов. Пусть 
- некоторое, быть может, бесконечное, множество векторов из линейного пространства . Набор векторов 
назовем максимальной линейно независимой системой, если эти векторы линейно независимы и добавление любого другого вектора из множества делает систему линейно зависимой. Если Х является векторным пространством, то максимальная линейно независимая система векторов в нем является базисом.
Пусть - максимальная линейно независимая система в и пусть 
- вектор, отличный от векторов 
. Тогда векторы 
линейно зависимы: 
. Заметим, что 
, иначе линейно зависимыми были векторы 
. Отсюда 
. Мы получили, что если - максимальная линейно независимая система, то любой вектор из линейно выражается через эти векторы. (Если вектор равен одному из векторов системы , то он очевидным образом выражается через векторы этой системы.)
Лемма. Пусть и 
- две системы векторов, причем векторы линейно независимы. Если векторы линейно выражаются через 
, то 
.
Доказательство. Предположим противное: пусть 
>
. Имеем:
Рассмотрим строки, составленные из коэффициентов 
:
Эти строки можно считать элементами пространства R r. Так как >, то эти строки линейно зависимы, т.е. найдутся 
, не все равные нулю, такие, что
.
Иначе, 
для 
. Но тогда
,
что означает линейную зависимость векторов . Значит, .
Следствие. Если и - две максимальные линейно независимые системы в , то 
.
Действительно, так как векторы линейно выражаются через , то . Но тоже линейно выражаются через , значит, 
. Отсюда .
Определение. Рангом системы векторов называется число векторов в максимальной линейно независимой системе.
Согласно только что доказанной лемме, ранг системы не зависит от выбора максимальной линейно независимой системы.
