Некоторые понятия теории вероятности и математической статистики

В теории вероятностей результаты опытов или наблюдений принято называть событиями. Случайные события характеризуются вероятностью P их осуществления, принимающей значения на промежутке [0,1]. Любое событие можно рассматривать как некоторое подмножество пространства элементарных событий Ω.

Случайной величиной Х называется числовая функция, определенная на пространстве элементарных событий Ω. Основной характеристикой случайной величины является распределение вероятностей. Функция распределения случайной величины Х определяется равенством F (x) =P (X<x), где x Î R (R — множество действительных чисел). Функция распределения обладает следующими свойствами:

- 0£ F (x)£ 1 при любом x Î R; ;

- F(x) является неубывающей функцией;

- P (a£X < b) =F (b)- F (a) для любых чисел a < b.

Функция распределения содержит всю вероятностную информацию о случайной величине Х.

Дискретную случайную величину удобно представлять в виде таблицы

(1.1)

Случайная величина Х называется непрерывной, если её функция распределения дифференцируема, т.е. существует производная p (x) =F’ (x), называемая плотностью распределения случайной величины Х, или сокращенно плотностью вероятности. В частности, . График функции распределения изображен на рис.3.

Рис.3. Функция нормального распределения.

Плотность распределения обладает следующими свойствами:

- р (х)³0 при любом x Î R;

-

Случайная величина полностью определяется законом распределения вероятностей. Но иногда закон распределения неизвестен, и приходится довольствоваться числовыми характеристиками случайной величины, оценки которых удаётся получить на основании эксперимента. Важнейшие из них — математическое ожидание и дисперсия.

Математическое ожидание (среднее значение) дискретной случайной величины Х, имеющей распределение (1.1), есть по определению сумма ряда при условии его абсолютной сходимости. Для непрерывной случайной величины Х с плотностью распределения р (х) математическое ожидание — это интеграл

, (1.2)

также при условии, что он абсолютно сходится. Математическое ожидание имеет следующие свойства (X, Y — произвольные случайные величины, a, b — константы):

- E (aX + bY) =aE (X)+ bE (Y);

- Если X ³ Y при всех реализациях, то E (X) ³ E (Y);

- Если X — непрерывная случайная величина с плотностью распределения p (x), а g (x), x Î R — числовая функция, то для случайной величины Y=g (X) справедливо равенство ;

- E (a) = a.

Другой важнейшей числовой характеристикой случайной величины Х является дисперсия, отражающая степень «разброса» случайной величины относительно среднего значения.

Дисперсия определяется равенством

(1.3)

Она имеет следующие свойства (X, Y — независимые случайные величины, a, b — константы):

- D (aX+bY) =a² D (X) +b² D (Y);

- D (X) =E (X ²)–(EX)²;

- D (a)= 0
;

В ряде случаев вместо дисперсии используют величину

(1.4)

называемую стандартным (среднеквадратичным) отклонением случайной величины Х.

Приведём примеры случайных величин, часто используемых в теории вероятностей, математической статистике и их приложениях.

1. Биномиальное распределение. Дискретная случайная величина x_n, принимающая значения k=0,1,2,…,n с вероятностями

называется биномиальной случайной величиной с параметрами n и p. Случайная величина с таким распределением возникает в схеме Бернулли. Если случайные величины e _i, i=1, …, n, независимы и принимают значение 1 с вероятностью p и 0 с вероятностью 1-p, то

2. Пуассоновское распределение. Дискретная величина P (l), принимающая значения k=0, 1,…, с вероятностями , называется пуассоновской случайной величиной с параметром l. Пуассоновское распределение широко используется в теории массового обслуживания. Число l называют интенсивностью. Е(P (l))= D(P (l))=l.

3. Равномерное распределение. Непрерывная случайная величина Х, плотность распределения которой задается формулой , называется равномерной на отрезке [ a, b ]. .

4. Показательное (экспоненциальное) распределение. Непрерывная величина Х, плотность распределения которой задается формулой , называется показательной или экспоненциальной с параметром l. Это распределение находит широкое применение в демографических исследованиях и в теории надёжности.

.

5. Нормальное (гауссовское) распределение. Непрерывная случайная величина Х, плотность распределения которой задается формулой

называется нормальной или гауссовской с параметрами Е (Х) = µ и D (X)= s ². Часто используется обозначение XÎN (µ, s ²).

Полезно запомнить следующее соотношение, называемое правилом трёх сигм: значения Х случайной величины, распределённой нормально, лежат в пределах (µ-3s; µ+3s) с вероятностью 0,997.

Нормальная случайная величина с µ = 0 и s ²= 1 называется стандартной нормальной величиной.

Кривая нормальной плотности для двух значений дисперсии s² (s₁<s₂) показана на рис.4.

Существуют и другие виды распределений. Более подробно о них можно узнать в учебниках [4], [9].

Рис.4. Плотность нормального распределения.