Высотная линия положения обладает несколькими свойствами, которые следует учитывать при астрономическом определении места судна

1. Первым свойством ВЛП можно назвать приближённость. Действительное место судна находится не на касательной, а на круге равных высот. Причём, чем дальше от определяющей точки находится действительное место, тем больше погрешность от замены круга касательной.

Таким образом, метод ВЛП несет в себе неустранимую погрешность метода. Но исследования показывают, что при высотах и широтах менее 70° и переносах менее 30', что обычно выполняется, погрешность лежит в пределах допустимого.

2. Вторым свойством является универсальность. Это означает, что ВЛП можно использовать при любых азимутах светила.

3. Третьим свойством является независимость положения ВЛП от счислимого места. Если, например, в рассмотренном примере 3.1 взять другую счислимую точку, то другие счислимые координаты дадут другие переносы и ВЛП попадут на прежнее место.

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1. Теория вероятностей является областью математики, рассматривающей закономерности, которым подчинены случайные явления, события или величины.

2. Случайными величинами называются такие переменные величины, которые в процессе опыта могут принимать какие-либо конкретные, заранее неизвестные значения. Получение того или иного результата измерения или действия относится к разряду случайных явлений, сам же результат является случайной величиной.

3. Вероятностью случайного события называют меру объективной возможности его наступления в определенных, могущих повторяться неограниченное число раз условиях. Математическая теория вероятностей применима только там, где вероятность допускает количественное ее выражение в виде числа.

Численное значение вероятности определяется как отношение числа случаев п испытаний, благоприятствующих появлению данного события к общему числу N испытаний

Вероятность выражается либо в процентах, либо правильной дробью. Ее величина определяется на основании материалов, полученных опытным путем (апостериорно) или на основании известных законов, которым подчинено распределение данных событий величин или явлений (априорно).

Вероятность достоверного события, которое неизбежно происходит в каждом испытании, равна 1.

Численное значение вероятности проявляется в большом, практически неограниченном ряду испытаний.

6. Вероятность появления хотя бы одного события из ряда независимых событий вычисляется по формуле

4. События называют зависимыми, если появление или непоявление одного из них вызывает изменение вероятности появления другого. Если же появление или непоявление одного события не изменяет вероятности появления другого события, то такие события называют независимыми.

5. Вероятность одновременного появления любого числа независимых событий равна произведению вероятностей этих событий

6. При измерении одной и той же величины, получаемые результаты,
в большинстве случаев отличаются друг от друга. Причинами их отличия являются:

7. несовершенство органов чувств наблюдателя;

— несовершенство измерительных инструментов;

— влияние внешних условий.

Измерения, произведенные одним и тем же наблюдателем, при одних и тех же условиях и с помощью одного и того же инструмента называются равноточными. Ошибки равноточных измерений не абсолютно одинаковы, но имеют один и тот же порядок.

8. Разность между каким-либо результатом измерения и истинным значением измеряемой величины называется истинной ошибкой. Вследствие того что истинное значение измеряемой величины определить нельзя, ошибки измерений определяют относительно вероятного значения искомой.

9. Ошибки измерений делятся на случайные, систематические и смешанные.

Случайные ошибки являются следствием совокупного влияния самых различных факторов, учесть которые не представляется возможным. Эти ошибки содержатся в подавляющем большинстве измерений.

Случайные ошибки обладают следующими свойствами, проявляющимися в большом ряду измерений:

— равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку ошибки р авновероятны; при увеличении числа измерений сумма случайных ошибокстремится к нулю;

— малые ошибки более вероятны, чем большие.

10. Систематические ошибки обусловливаются факторами, искажающими результаты измерений по определенному закону и в определенном направлении. Эти ошибки могут быть:

— постоянными, т. е. одинаковыми во всех измерениях;

— переменными прогрессивного типа, т. е. такими, которые в данном ряду последовательных измерений только возрастают или только уменьшаются;

— периодическими, изменяющимися по какому-либо периодическому закону;

— односторонне действующими. При наличии односторонне действующих ошибок результаты измерений отличаются от действительного значения измеряемой величины в одну сторону, но на различные величины.

Систематические ошибки во многих случаях могут быть учтены определением поправки измерительного прибора или исключены особыми приемами обработки результатов измерений.

Смешанные ошибки представляют собой сочетание случайных и систематических ошибок. Эти ошибки свойственны большинству измерений, производимых штурманом.

Ошибки, проявляющиеся в каждом измерении данного ряда, называются повторяющимися ошибками. Повторяющиеся ошибки могут действовать как систематические (при малой продолжительности измерений или как случайные (при продолжительности измерений, соизмеримой с периодом изменения повторяющейся ошибки).

11. Кроме ошибок, в процессе измерений могут быть промахи Исключение промаха возможно только тщательным повторением измерения.

12. Случайные ошибки измерений не хаотичны. Они подчиняются вполне определенным законам распределения. В практике кораблевождения наибольшее применение имеет нормальный закон или закон Гаусса, характеристиками которого являются:

где h — постоянный параметр, называемый мерой точности. Графически закон Гаусса изображается кривой (рис. 1), называемой кривой ошибок или кривой нормального распределения;

а) частота у появления ошибок х повышается с уменьшение самих ошибок и определяется следующим выражением:

б) вероятность того, что. ошибка измерения лежит в пределах от X₁ до Х₂,определяется интегралом вида

Эта вероятность графически изображается площадью, ограниченной кривой ошибок, осью абсцисс и двумя ординатами (рис. 1). При

Х ₁ = — °° и х₂ = + °° вероятность Р = 1;

в) вероятное значение искомой величины А, называемое математическим ее ожиданием, при п равноточных измерений равно среднему арифметическому из полученных результатов измерений а_и а₂,..., а„

повышение точности среднего арифметического при данной точности измерений возможно только за счет увеличения числа этих измерении, однако при любом числе измерений ошибка среднего арифметического не может быть меньше систематической ошибки.

Для оценки точности измерений приняты показатели их точности, к которым относятся:

— средняя квадратическая ошибка (отклонение);

— вероятная, или срединная ошибка (отклонение);
—• средняя ошибка (отклонение).

Средняя квадратическая ошибка m одного измерения в данном их ряду для нормального закона распределения соответствует абсциссе точки перегиба кривой ошибок, и при минимальной величине эта ошибка обладает максимальной вероятностью, равной 0,683.

Для вычисления средней квадратической ошибки применяются следующие формулы:

— при значении искомой, полученном с помощью более точного изме
рительного инструмента или вычисленном по соответствующей формуле,
обеспечивающей высокую точность результата

— при вероятном значении искомой, равном среднему арифметическому из результатов измерений

Средняя квадратическая ошибка среднего арифметического вычисляется по формуле

Для уменьшения влияния случайных погрешностей измерения и определения возможных промахов рекомендуется измерять серию из трёх высот светила с последующим осреднением и отсчётов секстана, и моментов по хронометру.

Точность измерения высот секстаном характеризуется средней квадратической погрешностью измерения. Если измеряемый угол остаётся неизменным, как, например, горизонтальный угол между маяками или вертикальный угол на маяк со стоящего на якоре судна, то для вычисления средней квадратической погрешности измерения (СКП) достаточно было бы измерить серию углов и подсчитать СКП по формуле Бесселя. Но высоты светил непрерывно изменяются и из-за вращения небесной сферы, и из-за движения самого судна. Поэтому для осреднения высот их нужно приводить к одному моменту и одному зениту. Приведение к одному моменту производится по формуле:

где Ah - изменение высоты в угловых минутах за Т секунд времени

[;

φ - широта места;

А - азимут светила. Приведение к одному зениту производится по формуле:

где Δ h_z - приведение к одному зениту за Δ Т секунд времени;

ИК - истинный курс суда, V- скорость судна в узлах. Объединяя эти формулы, общее изменение высоты под действием суточного вращения небесной сферы и движения судна можно записать:

Δh_z = (0,25 cos φsin А + 0,00028 V cos (А -ИК)) Δ Т (2.9)

Если точность измерения высот определялась на берегу или на судне, стоящем на якоре, второе слагаемое в скобках формулы (2.9) будет отсутствовать.

и умножается на коэффициент, выбранный из табл. 2.1 по числу измерений п:

где т — СКП измерений; к - коэффициент из табл. 2.1.

Вместо расчёта СКП по формуле Бесселя можно воспользоваться более простым способом размаха. В этом случае рассчитывается размах R по

приведем пример расчета СКП измерения высот.

Пример 2.6. Находясь в широте 43°N, следуя ИК=227° со скоростью 14 узлов, измерили серию высот Солнца. Моменты по хронометру и отсчё­ты секстана записаны в колонках 2 и 5 табл. 2.2. Осреднённый круговой азимут Солнца А=\ 119°. Определить точность измерения высот Солнца.

Решение. Подставляя в формулу (2.9) (р, А, ИК, Vи ΔТ^с =1, рассчитаем изменение высоты за 1 секунду времени с помощью калькулятора:

Δ h_z,^с= O,25cos 43° sin 119°+ 14 X 0,00028cos (119°-227°) = +0,1587'

Расчёты по этой формуле надо вести, как минимум, до четвёртого знака после запятой, азимут использовать только круговой, т.е. ИП.

Затем рассчитываются промежутки времени в секундах между по­следним моментом и каждым и записываются в колонку 3. Умножая из­менение высоты за 1 секунду +0,1587' на д 2" из третьей колонки, получаем общее изменение высоты и записываем в колонку 4.

После этого, складывая значения из колонки 4 с измеренным отсчётом в колонке 5, получаем приведённый отсчёт секстана, который записываем в колонку 6

Просмотр значений в колонке 6 показывает, что явных промахов в измерениях нет. Рассчитываем размах:

R = 37° 19,5'-37° 18,1'=1,4'.

Из табл. 2.1 для п = 7 выбираем к = 0,370 и рассчитываем СКП измерения высот:

т. = 0,370 x 1,4'= 0,5'.

После расчета СКП можно с большей уверенностью определить наличие или отсутствие промаха в измерениях. Промахом называется измерение, выполненное с отклонением от среднего более, чем на 3 т. Рассчитываем среднее из приведенных отсчетов секстана: ср ОС_пр= 37° 18,8'. И минимальное пятое, и максимальное седьмое измерения отличаются от среднего на 0,7'. Это меньше, чем 3 т. = 1,5'. Значит, промахов в измерениях нет.

СКП измерения высот можно определить проще, без приведения к одному моменту и одному зениту. Делается это графически. На листе миллиметровой бумаги строится график. По оси х откладываются моменты измерения, а по оси у — высоты. Затем через полученные точки на глаз проводится прямая таким образом, чтобы количество точек над ней и под ней было равным. С графика снимаются расстояния до прямой от наиболее удаленных точек над и под прямой. Эти расстояния складываются и дают размах, с помощью которого по формуле (2.10) подсчитывается СКП измерений.

Для штурмана, имеющего навык астрономических наблюдений, при хорошем горизонте СКП измерения высот Солнца составляет 0,5', СКП измерения высот звезд - 0,7'.