Модель воспроизводства стабильного населения

ДИСКРЕТНАЯ МОДЕЛЬ ДОЖИТИЯ

Функция дожития. Статистические данные оперируют с целочисленными значениями возраста. В связи с этим целесообразно рассмотреть дискретную модель с целочисленными значениями возраста. Чтобы отличить дискретное представление от непрерывного будем показывать значения возраста в подстрочном индексе. Так, значение функции дожития в возрасте t будем обозначать V _t, t = 0, 1, 2, ….

Примем за единицу число родившихся: V ₀ = 1. Повозрастную смертность m_t определим следующим образом. Если в качестве возраста на момент смерти фиксируется число исполнившихся лет, то при определении смертности в возрастном диапазоне от t до t + 1 в качестве значения возраста принимается t. В таком случае повозрастная смертность определяется равенством

Отсюда следует рекуррентное представление функции дожития через значения повозрастной смертности

V _{t + 1} = V _t · (1 – m_t), t = 0, 1, 2, ….

Вместе с условием V ₀ = 1 это приводит к явному выражению функции дожития

Ожидаемая продолжительность жизни. Доля умирающих в возрастном интервале между t и t + 1 равна V _t – V _{t + 1}. Если принять их возраст в момент смерти равным t, то получим следующее выражение для ожидаемой продолжительности жизни:

(1)

Преобразуем это выражение

Так как при t = 0 соответствующее слагаемое в первой сумме обращается в нуль, нижний предел в обеих суммах можно положить равным 1, так что

или

(2)

Выше было высказано допущение, что возраст умирающих в диапазоне от t до t + 1 равен t; в действительности он некоторым образом распределен между t и t + 1, так что более реалистической оценкой будет значение t + ½. Заметим, что в соответствии с равенством (1) величина представляет собой среднее арифметическое из значений t, взвешенное по доле умерших в каждом возрастном диапазоне. Поэтому равенство модифицируется следующим образом:

(3)

Отметим, что, поскольку V ₀ = 1, равенство (3) соответствует численному интегрированию функции V (t), заданной в целочисленных точках, методом трапеций.

В демографии различают модели стационарного и стабильного населения. Под стационарным понимают население, ни численность, ни качественные демографические характеристики которого не изменяются во времени. Стабильным называется население, качественные характеристики которого (в первую очередь, порядок дожития, порядок воспроизводства) остаются неизменными; численность населения при этом может изменяться. Стационарное население является стабильным; стабильное население является стационарным лишь в частном случае, когда его численность не изменяется во времени.

1. Основные соотношения

Пусть t обозначает текущее время, t — возраст. Для численности населения в момент t здесь используется обозначение P (t), для возраст­ного состава населения в момент t — обозначение P (t, t), так что

.

Для повозрастной смертности в момент t в возрасте t будем использовать обозначение m(t, t).

Лица, в момент t имевшие возраст t, через промежуток времени D, то есть в момент t + D, будут иметь возраст t + D. Однако некоторые из них не доживут до этого момента. Считая величину D малой, можем утверждать, что доля умерших составляет m(t, t)D (с точностью до малых величин более высокого порядка, чем D). Таким образом, мы приходим к равенству

P (t + D, t + D) = P (t, t)·[1 – m(t, t)D] + o (D),

или

P (t + D, t + D) – P (t, t) = – m(t, t) P (t, t)D + o (D).

Преобразуем последнее выражение следующим образом:

Переход к пределу при D ® 0 приводит к дифференциальному уравнению динамики дожития:

(1)

Если качественные характеристики населения — порядок дожития и порядок воспроизводства — постоянны, то можно предположить, что существует динамика, характеризующаяся постоянством возрастной структуры:

P (t, t) = P (t)j(t). (2)

Здесь j(t) — плотность распределения по возрасту:

= 1.

(3)

Обратимся уравнению (1). Для функции P (t, t) вида (2) это уравнение можно представить в форме

Учитывая, что повозрастная смертность не зависит от текущего времени, так что m(t, t) º m(t), и, деля обе части уравнения на произведение P (t)j (t), получаем:

,

или

.

Заметим, что левая часть равенства зависит только от t и не зависит от t, а правая — зависит только от t и не зависит от t (так называемое дифференциальное уравнение с разделяющимися аргументами). Равенство возможно лишь в случае, если каждая часть последнего равенства представляет собой константу. Обозначим ее b:

	b;	(4)
	b.	(5)

Каждое из полученных равенств есть обыкновенное дифференциальное уравнение, описывающее соответствующую функцию. Для численности населения решение уравнения (4) дает

P (t) = pe b t,

(6)

где p — численность населения в момент t = 0. Таким образом, представление (2) возможно лишь в случаях, когда численность населения изменяется экспоненциально. Параметр b при этом играет роль постоянного инкремента динамики.

Решение уравнения (5) позволяет найти возрастную структуру:

– b – m(t),

j (t) = Ce^{– bt}exp.

Последний множитель представляет собой функцию дожития

V(t) = exp,

так что

j (t) = C · V (t) e^{– bt}. (7)

Коэффициент C может быть определен из нормирующего условия (3):

C = . (8)

Подставляя результаты (6) и (7) в (2), получаем динамику численности и возрастной структуры населения в явном виде:

P (t, t) = PC V (t), (9)

где коэффициент C определяется равенством (8).

Заметим, что все рассмотренные построения опирались лишь на информацию о порядке дожития. Поэтому уравнение (9) справедливо как для населения в целом, так и для мужчин и женщин в отдельности. При этом соответствующие повозрастные коэффициенты смертности для мужчин m _M (t) и для женщин m _F (t), а также функции дожития V_M (t), V_F (t) для этих групп различаются, но инкремент b — общий для всего населения.

2. Инкремент численности населения

Инкремент численности населения определяется порядком его воспроизводства. Простейшая модель воспроизводства населения базируется на замкнутой модели воспроизводства женского населения; при этом мужчины рассматриваются как «побочный результат» воспроизводства женщин.

Пусть f (t) — повозрастная фертильность (число детей, родившихся в единицу времени у матерей в возрасте t, отнесенное к числу женщин в данном возрасте). Поскольку порядок воспроизводства мы считаем неизменным, функция фертильности не зависит от текущего времени.

Рождаемость совпадает с плотностью возрастного распределения при t = 0. Воспользовавшись равенством (8) и учитывая, что V_F (0) = 1, найдем, что число девочек, рождающихся в произвольный момент t, равно

n _F (t) = P_F C_F (10)

С другой стороны, это число определяется фертильностью их матерей; учитывая, что матери в возрасте t — это женщины, рожденные в момент t – t и дожившие до возраста t, можем представить число рождений равенством

n _F (t) =,

где g — доля девочек среди новорожденных. Воспользуемся выражением (10) для числа рождающихся девочек:

P_F C_F e ^{b t} =,

что после упрощений дает

= 1. (11)

Мы получили уравнение, которому должен удовлетворять инкремент b.

Приведем некоторые соображения по поводу его решения. Введем в рассмотрение функцию

R (b) =. (12)

Теперь интересующее нас уравнение имеет вид R (b) = 1. В выражении (12) параметр b входит в качестве коэффициента при аргументе экспоненты; при всех положительных значениях t подынтегральная функция убывает по b. (При t = 0 она не зависит от b, но это не имеет значения, поскольку f (0) = 0). Таким образом, функция R (b) — монотонно убывающая. Кроме того, можно заметить, что R (b) ® + ∞ при b ® – ∞ и R (b) ® 0 при b ® + ∞.

Выражение для нетто-коэффициента воспроизводства

R _н = g

показывает, что R _н= R (0). Высказанные выше замечания позволяют сделать следующее заключение относительно знака b:

b > 0, если R _н > 1;

b < 0, если R _н < 1.

Далее, фертильность отлична от нуля в некотором диапазоне возрастов; положим a = inf{t | f (t) > 0}. Ясно, что фактически нижним пределом интегрирования в определениях R _н и R (b) является величина a.

Пусть R _н > 1. При этом b > 0, и справедливо неравенство

R (b) = < e^{– b a} = R _н e^{– b a}. (13)

Значение b, при котором R (b) = 1, следовательно, должно удовлетворять неравенству e ^{b a} < R _н, откуда

b < .

Аналогично, если R _н < 1, то b < 0, и знак неравенства (13) изменится на противоположный. Таким образом,

если R _н > 1, то 0 < b < ;

если R _н < 1, то < b < 0.

Зная границы, в которых лежит искомое значение b, можно численно решить уравнение (11), например, методом половинного деления.

3. Длина поколения

Под длиной поколения может пониматься разность в возрасте родителей и их детей. Можно говорить о длине мужского и о длине женского поколения. В рамках рассмотренной выше модели более естественным представляется второй подход.

Возраст матери в момент рождения дочери распределен в пределах диапазона фертильности. Поэтому о длине поколения можно говорить лишь как о некоторой средней характеристике.

Один из подходов к усреднению состоит в том, чтобы рассмотреть такой воспроизводственный процесс, при котором рождение ребенка происходит при строго фиксированном возрасте матери и при этом нетто-коэффициент воспроизводства и инкремент численности населения сохраняют свои значения. Пусть G обозначает этот возраст. Теперь соображения, которые ранее привели к неравенству (13) при R _н > 1 и к противоположному неравенству при R _н < 1, дадут равенство e ^{b G} = R _н, откуда

G = . (14)

Другой подход сводится к сопоставлению характеристик R _н и b. Нетто-коэффициент воспроизводства показывает, сколько дочерей приходится на одну мать, или, иначе, как изменяется численность женщин при переходе от поколения к поколению, но не связывает это изменение с какими-либо временными интервалами. Инкремент b характеризует (экспоненциальный) рост в единицу времени. Следовательно, если смена поколений совершается в течение периода продолжительностью G, то должно выполняться равенство e ^{b G} = R _н, и мы снова приходим к выражению (14). Как мы видим, два подхода, на первый взгляд достаточно различающихся, привели к одному и тому же результату, что свидетельствует об их логической согласованности.

Следует заметить, что выражение (14) дает результат лишь при R _н ¹ 1 (при этом b ¹ 0). При R _н = 1 оно становится неопределенным вида 0 / 0. Не вносит определенности и рассмотрение соображений, приводящее к равенству (14): они дают в качестве промежуточного результата тождество 1 = 1. Оно и понятно: если численность населения не изменяется, то она не изменяется ни на каком временном интервале. Разумеется, трудно ожидать, чтобы интеграл от эмпирически оцененных функций в точности равнялся единице, так что вопрос о длине поколения при R _н = 1 едва ли представляет практический интерес. Однако ради «академической полноты» следует привести выражение для длины поколения при единичном коэффициенте воспроизводства:

G =,

где

g (t) = g f (t) V_F (t).

Доказательство этого утверждения приведено в Приложении.

Пример. t₀ = 20 лет, t₁ = 40 лет, g = 0.5. Повозрастная фертильность f = 0.2 г ^–1 на отрезке [t₀, t₁] и равна нулю в других возрастных группах. Функция дожития в пределах диапазона фертильности V (t) = e ^–0.008t.

При этих данных R _н = 1.574934, инкремент роста численности населения b = 0.015409 г ^–1, длина поколения G = 29.47716 г.

4. Обсуждение

Выше все построения проводились на основе «женской» модели воспроизводства. Поскольку никакие биологические обстоятельства при этом не принимались во внимание, можно было бы выполнить все построения в рамках «мужской» модели воспроизводства. Соответственно, в качестве исходных характеристик при этом выступали бы a = 1 – g — доля мальчиков среди новорожденных; f_M (t) — мужская фертильность, т.е. число рождений детей у мужчин в возрасте t по отношению к численности мужчин данного возраста; m _M (t) — повозрастная смертность мужчин и производная от нее функция V_M (t)дожития мужчин до возраста t.При этом все приведенные соотношения остаются в силе, но числовые параметры (коэффициенты воспроизводства, длина поколения) в «мужской» и в «женской» модели различаются. Единственное исключение составляет b: это инкремент роста населения в целом, он совпадает с таковым для мужского и женского населения в отдельности.

ПРИЛОЖЕНИЕ. Длина поколения при R _н = 1.

Значение длины поколения G при R _н = 1можно трактовать как предельное при R _н ® 1. Будем использовать обозначение g (t) = g f (t) V_F (t). Длина поколения, очевидно, является функционалом от g (t). Интересующий нас предел имеет смысл, если возможные изменения функции g (t) представляют собой однопараметрическое семейство функций { g (t; l)}, где l — скалярный параметр. При этом условии величины R _н, b, G являются функциями параметра l: R _н(l), b(l), G (l). Пусть l₀ — значение l, при котором R _н(l) = 1 (соответственно, b(l) = 0). Далее будем использовать обозначение g (t) для g (t; l₀).

При сделанных допущениях естественно положить

G (l₀) = ,

или

G (l₀) = , (٭)

так как R _н ® 1 при l ® l₀.

Будем считать, что функция g (t; l) дифференцируема по l, по крайней мере, в окрестности l = l₀. В таком случае

dR _н /d l =

где . Введем обозначение

I (l, b) =.

Тогда связь между l и b опишется равенством I (l, b) = 1, так что полный дифференциал dI (l, b) равен нулю:

d l d b= 0.

Выполнив дифференцирование, получим:

d l

а при l = l₀, учитывая, что при этом b = 0, —

d l,

где

=

— среднее арифметическое значение возраста матери в момент рождения дочери.

Итак, мы нашли, что

,

и, следовательно,

,

откуда в силу (٭) следует G (l₀) = вне зависимости от вида функции g (t; l), т.е. от «направления» перехода к пределу R _н ® 1.

Проиллюстрируем примером. Пусть g (t; l) = l g (t). Это может означать, в частности, что повозрастные коэффициенты рождаемости претерпевают пропорциональное изменение. Можно считать, что

.

Заметим, что в рассматриваемом случае R _н(l) = l и l₀ = 1.

Теперь задача свелась к определению

G (l) =

Для нахождения d l /d b представим уравнение, определяющее b,

в виде

и выполним дифференцирование:

.

Переход к пределу при l ® 1 (или, что равносильно, при b ® 0) дает окончательный результат:

G ==,

как и следовало ожидать.

6. ДОЛЯ ТРУДОСПОСОБНОГО НАСЕЛЕНИЯ

Рассматривается доля населения в трудоспособных возрастах. Границы этого возрастного диапазона обозначим t₀ и t₁. Будем считать, что население стабильно и что его численность возрастает с инкрементом b. Тогда возрастная структура населения описывается равенством

j(t) = CV (t) e ^–bt,

где C — нормирующий коэффициент, V (t) — функция дожития до возраста t. В таком случае доля L трудоспособного населения в его численности равна

.

Рассматривая ее как функцию темпа роста, можно поставить задачу определения «оптимального» темпа роста — в смысле максимизации доли населения трудоспособных возрастов:

L

Частный случай: модель нестареющего населения. Простое аналитическое решение получается в случае модели нестареющего населения: повозрастная смертность m(t) = m = const — не зависит от возраста, V (t) = e ^–mt. Для этой модели получаем:

L =

где n = m + b (общая рождаемость — особенность данного частного случая, не обобщается!). Если значение m зафиксировано, то максимизация L по b эквивалентна максимизации по n. Имеем:

= 0.

Обозначим t₁ = k t₀, z =. Тогда условие максимума имеет вид z – kz^k = 0, или kz^{k– 1}= 1, откуда ln k + (1 – k)ln z = 0. Так как ln z = – nt₀, получаем

n =

или, окончательно,

b =.

Пусть, например, m = 0.0125, что соответствует средней продолжительности жизни, равной 80 годам, а трудоспособный возраст — от 20 до 60 лет. Тогда оптимальная рождаемость равна n = 0.0275 г ^–1, оптимальный темп роста равен b = 0.0150 г ^–1. При m = 0.0143, чему соответствует средняя продолжительность жизни 70 лет, оптимальный темп роста равен b = 0.0132 г ^–1.

Замечание: в данной модели оптимальная рождаемость зависит только от границ трудоспособного возраста!

Таблица 1.