Модели миграции

Пример

МОДЕЛИ ЭПИДЕМИИ

Пример

b = 2		b = 0.5
n	pn	qn		n	pn	qn
	0.500	0.500			0.500	0.500
	0.400	0.600			0.571	0.429
	0.294	0.706			0.629	0.371
	0.196	0.804			0.676	0.324
	0.119	0.881			0.713	0.287
	0.067	0.933			0.744	0.256
	0.036	0.964			0.769	0.231
	0.019	0.981			0.790	0.210
	0.009	0.991			0.808	0.192
	0.005	0.995			0.823	0.177
	0.002	0.998			0.836	0.164
	0.001	0.999			0.848	0.152
	0.001	0.999			0.858	0.142
	0.000	1.000			0.866	0.134

Модель распространения болезни без выздоровления («быстрая эпидемия»). Описывает ситуацию, при которой продолжительность болезни велика настолько, что при описании процесса распространения заболевания числом выздоровевших можно пренебречь.

Обозначения:

P — численность населения (константа);

P ₀(t) — число здоровых;

P ₁(t) — число больных.

Очевидно, P ₀(t) + P ₁(t) = P.

Процесс распространения заболевания описывается дифференциальным уравнением

Общее решение этого уравнения — логистическая функция

где постоянная C связана с начальным условием P ₁(0) соотношением

2. Модель распространения болезни с выздоровлением без иммунитета. В прежних обозначениях процесс распространения описывается уравнением

или

где введено обозначение

Общее решение уравнения имеет вид

где постоянная C связана с начальным условием P ₁(0) соотношением

3. Модель распространения болезни с выздоровлением и иммунитетом. В этом случае требуется различать изначально здоровых (не болевших), за которыми сохранится обозначение P ₀(t), и выздоровевших, которые будут обозначены P ₂(t). При любых t теперь выполняется равенство

P ₀(t) + P ₁(t) + P ₂(t) = P.

Процесс распространения болезни и выздоровлений описывается системой дифференциальных уравнений

Интенсивность заражения	0.2
Интенсивность выздоровления	0.02
Начальное число больных	0.005

не болевшие больные выздоровевшие

Численное решение дифференциальных уравнений и систем. Проще всего воспользоваться методом Эйлера. Уравнение с одной неизвестной функцией

заменяется конечно-разностным уравнением

Аналогично, система дифференциальных уравнений

заменяется системой конечно-разностных уравнений

Применительно к рассматриваемой модели эпидемии система конечно-разностных уравнений имеет вид

при начальном условии P ₁(0) = 0; P ₂(0) = 0.

1. Рассмотрим вначале два множества (кластера), численности которых x ₁ и x ₂. Введем характеристики подвижности a₁ и a₂: подвижность a₁ есть отношение величины потока (числа перемещающихся в единицу времени) покидающих множество 1 и направляющихся в множество 2; подвижность a₂ определяется аналогично. Динамика численностей описывается дифференциальным уравнением

Ясно, что x ₁ + x ₂ = N = const. Равновесные численности (dx ₁ /dt = 0, dx ₂ /dt = 0):

2. Пусть число кластеров равно m, их численности x_i, i =1, …, m, подвижности теперь имеют направления: a _ij, i, j =1, …, m, i ¹ j.

Положим

a _ii = (1)

определим матрицу A = (a _ij) _{m ´ m} и вектор-строку x = (x_i)_{1´ m}. В этих обозначениях

.

Равновесные численности должны отвечать системе xA = 0; но матрица A — вырожденная (A1 = 0), и если вектор x > 0 — равновесный, то и вектор k x — также равновесный при любом k >0. Поэтому система xA = 0 определяет лишь равновесные пропорции, а для равновесных численностей следует задать еще и общую численность

3. Помимо m множеств рассматривается еще и внешняя среда. Она предполагается «большой» в том смысле, что число объектов в ней велико (≈ ∞), подвижность в направлении рассматриваемых множеств ничтожна (≈ 0), так что к i -му кластеру направлен поток с конечной интенсивностью l _i, а от i -го кластера во внешнюю среду направлен поток, определяемый подвижностью a _{i , m + 1}; ни тот, ни другой поток не изменяют численности объектов во внешней среде.

С учетом обозначения (1) теперь динамика численностей описывается системой уравнений

При этом суммы в (1) должны содержать слагаемые a _{i , m + 1}. Ввод в рассмотрение вектора-строки l = (l _i)_{1´ m} позволяет описать динамику равенством

Равновесные численности теперь описываются системой l + xA = 0.

Пример. Пусть m = 3, a₁₂ = 0.1, a₁₃ = 0.2, a₂₃ = 0.4, a₂₄ = 0.3, a₃₁ = 0.5; таким образом,

Входные потоки: l₁ = 400, l₃ = 200, так что l = (400, 0, 200). (Не указанные числовые значения равны нулю.) Равновесные значения численностей определяются условием

Решением этой системы уравнений служат равновесные численности

x ₁ = 1400; x ₂ = 2000; x ₃ = 7600.

Решение представлено на рисунке. Над кластерами жирным шрифтом показаны равновесные численности, над дугами показаны равновесные интенсивности потоков.