2014-01-24
847
Третий прием
Четвертый прием Пятый прием
Шестой прием
Седьмой прием
Восьмой прием
Девятый прием
Нулевой непараметрической гипотезой называется гипотеза относительно общего вида функции распределения СВ 
.
Проверка гипотезы о предполагаемом распределении производится с помощью непараметрических критериев значимости. Принципы построения таких критериев и методика проверки остаются практически теми же, что и при параметрических гипотезах, т.е. проверка непараметрических гипотез производится на основании вычисления некоторой выборочной статистики (критерия), распределение которой получено в предположении истинности нулевой гипотезы и сравнения наблюдаемого значения этой выборочной статистики с критическим значением.
Непараметрические критерии значимости условно можно подразделить на две группы. К первой группе относятся критерии согласия, с помощью которых проверяются нулевые гипотезы относительно общего вида функции распределения. К другой группе непараметрических критериев относятся критерии, с помощью которых проверяется нулевая гипотеза о принадлежности двух выборок одной и той же генеральной совокупности (две генеральные совокупности имеют одну и ту же функцию распределения).
П.1. Критерий согласия 
Пирсона.
Критерий Пирсона позволяет производить проверку согласия эмпирической функции распределения с гипотетической функцией 
, принадлежащей к некоторому множеству 
функций определенного вида (нормальных, показательных, биномиальных и т.д.).
Пусть СВ имеет функцию распределения , принадлежащую некоторому классу функций . Из генеральной совокупности извлечена выборка объема 
.
Разобьем весь диапазон полученных результатов на 
частичных интервалов равной длины, и пусть в каждом частичном интервале оказалось 
измерений, причем 
. Составим сгруппированный статистический ряд распределения частот:
| Интервалы наблюдаемых значений СВ
|
|
| … |
| … |
|
| Частоты
| 
| 
| … |
| … | 
|
Требуется на основе имеющейся информации проверить нулевую гипотезу о том, что гипотетическая функция распределения значимо представляет данную выборку, т.е. 
.
При проверке нулевой гипотезы с помощью критерия согласия придерживаются следующей последовательности действий:
1) на основании гипотетической функции вычисляют вероятности попадания СВ в частичные интервалы :
;
2) умножая полученные вероятности 
на объем выборки , получают теоретические частоты 
частичных интервалов , т.е. частоты, которые следует ожидать, если нулевая гипотеза справедлива;
3) вычисляют выборочную статистику (критерий) :
. (28.1)
Замечание 1. При проверке гипотезы о нормальном распределении СВ вероятности попадания СВ в частичные интервалы находят по формуле: 
Ф
– Ф
, где Ф
– функция Лапласа (приложение 2).
Если нулевая гипотеза верна, то при 
распределение выборочной статистики (28.1) независимо от вида функции стремится к распределению с 
степенями свободы (– число частичных интервалов; 
– число параметров гипотетической функции , оцениваемых по данным выборки).
Критерий сконструирован таким образом, что чем ближе к нулю наблюдаемое значение критерия , тем вероятнее, что нулевая гипотеза справедлива. Поэтому для проверки нулевой гипотезы применяется критерий с правосторонней критической областью. Следовательно, для того, чтобы проверить нулевую гипотезу, необходимо найти по таблицам квантилей -распределения по заданному уровню значимости 
и числу степеней свободы критическое значение 
, удовлетворяющее условию 
. Сравнивая наблюдаемое значение выборочной статистики , вычисленное по формуле (28.1), с критическим значением , принимаем одно из двух решений:
1) если набл 
, то нулевая гипотеза отвергается в пользу альтернативной 
, т.е. считается, что гипотетическая функция не согласуется с результатами эксперимента;
2) если набл <, то считается, что нет оснований для отклонения нулевой гипотезы, т.е. гипотетическая функция согласуется с результатами эксперимента.
Замечание 2. При применении критерия необходимо, чтобы в каждом частичном интервале было не менее 5 элементов. Если число элементов (частота) меньше 5, то рекомендуется объединять такие частичные интервалы с соседними.
