Конспект лекции. 2.Комплексное число в алгебраической форме

План лекции

ТЕМА V – КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.

1. Понятие комплексного числа.

2. Комплексное число в алгебраической форме.

3. Операции сложения и вычитания комплексных чисел в алгебраической форме.

4. Комплексное число в тригонометрической форме.

5. Операции умножения, деления, возведения в натуральную степень, извлечение корня натуральной степени из комплексного числа в тригонометрической форме.

6. Показательная форма комплексного числа.

1. В множестве R уравнение решений не имеет. Возникает задача расширения множества R до такого множества, в котором это уравнение имеет решение. Существование взаимно однозначного соответствия между парами действительных чисел (a,b) и точками плоскости привело к идее введения расширения R, в котором выполнялась бы операция извлечения корня четной степени из отрицательного числа. Элементами этого нового множества считают пару чисел (a,b),, они изображается точками плоскости с их координатами. Пару таких чисел называют комплексным числом. Начало координат–число (0,0); число, противоположное числу - эточисло

2. В построенном числовом множестве вводятся простейшие алгебраические операции: c умма - ( 1 ), произведение - (2), р азность - ( 3 ). Частное чисел и - это число, для которого выполняется: ,. После преобразований: ( 4). Числа и считаются равными, если ( понятий «больше» и «меньше» в построенном множестве не существует). Множество чисел вида (a,b) c операциями сложения, вычитания, умножения и деления называется множеством комплексных чисел К.

(a).Связь множеств R и K: с одной стороны: (5). С другой стороны ( 6), из (5) и (6): комплексное число (1,0) совпадает с действительным числом «1». (b).Точки вида - это точки оси ОХ: комплексное число - действительное число «а». (с) Из определений операций: ,,

операции с комплексными числами совпадают с операциями с действительными числами. (d). Cреди чисел К содержится корень уравнения:существует такое число «m», что:, если m =(0,1), то и число m =(0,1) – это точка оси OY. (е). Обозначим m=i:, (7); - точка оси OY. (g) Комплексное число (8) ( z=x+yi) - комплексное число z в алгебраической форме.

3.Число «i» - называется мнимой единицей, «yi» - мнимая часть, «х» - действительная часть числа «z». Если, тогда сумма и разность вычисляются:. Произведение и частное комплексных чисел проще вычислять в тригонометрической форме комплексных чисел. Число называется числом, обратным числу z. Свойства: [1]..[2].[3]. Если, то либо, либо.[4]. Если, то. Числа - сопряженные, и являются взаимно сопряженными. Действительное число х сопряжено самому себе:, если y = 0, z=х – действительное; число, сопряженное числу, если y=0, то. Сумма двух сопряженных чисел:.

4. Комплексное число представляетсям и в тригонометрической форме. Каждая точка плоскости M(x;y) отождествляется с комплексным числом. С другой стороны, точка M(x;y) характеризуется параметрами: (а) ее проекциями на оси OX и OY (числами x и y),(в) расстоянием r=|OM| точки M(x;y) до начала координат О (0;0), (с) углом между вектором и осью ОХ. Число r=|OM| = (9) - это модуль комплексного числа:. Угол - это аргумент числа (= арг z, - любые действительные значения), угол отсчитывается против часовой стрелки, если углы и отличаются друг от друга на, то соответствующие точки совпадают, поэтому аргумент комплексного числа принимает бесконечное множество значений, отличающиеся друг от друга на кратное число. Если два комплексных числа равны, то их модули равны (), а аргументы отличаются на целое число, кратное. Для числа z= 0: | z|=0, угол - не определен. Из геометрической интерпретации комплексного числа:, тогда (10). Подставив эти выражения в алгебраическую форму комплексного числа, получим (11) - тригонометрическая форма комплексного числа. Введение аргумента и модуля комплексного числа равносильно переходу от прямоугольной декартовой системы координат к полярной системе.

5. С комплексными числами в тригонометрической форме осуществляются операции умножения, деления, возведения в степень с натуральным показателем и извлечения корня любой степени с натуральным показателем.

Произведение чисел и: = (12). Например:

Деление =

(13) Пусть, тогда,, методом математической индукции доказывается: (14) - формула Муавра. Корень натуральной степени n из комплексного числа:. Обозначим - это такое комплексное число, для которого выполняется:

, откуда, с другой стороны. У равных комплексных чисел равны и модули и аргументы, поэтому и; равные аргументы могут отличаться друг от друга на число, кратное, поэтому.

(15), где - это формула для извлечения корня степени n из комплексного числа. Для к =0,1,2,… n -1 значения угла различны, начиная с к=n эти значения повторяются. Все значения расположены на окружности радиуса с началом в точке О(0;0). Например, для корня из числа запишем формулу:. Вычислим значения для различных значений «к»:

(1).;

(2),;

(3);;

(4);;

(5); =

= =

= - далее корни повторяются.

6. Cуществует показательная форма записи комплексного числа. Считаем по определению (*), тогда если, то - это комплексное число, записанное в показательной форме. Для проверки правомерности этого осуществим операции умножения, деления, возведения в натуральную степень комплексного числа z в тригонометрической и показательной формах и сравним результаты. Пусть числа заданы в тригонометрической и в показательной формах:

Умножение: (а) и (b). Сравним (а) и (b): левые части равны, следовательно равны и правые части:

=, или = (16), формула (*) действительно задает комплексное число. Для деления двух комплексных чисел в показательной форме имеем формулу (17); для возведения комплексного числа в натуральную степень - (18).