2014-01-24
1256
План лекции
ТЕМА IX – ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.
1. Понятие функции.
2. Числовая последовательность, ее предел.
3. Предел функции одной переменной. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
4. Основные свойства пределов функций.
5. Первый и второй замечательные пределы.
6. Понятие непрерывности функции одной переменной.
1. Пусть, функция - это соответствие, которое каждому значению ставит одно и только одно значение. Числовая функция - это функция, заданная на основе соответствия между числовыми множествами X,Y: y=f(x), х – независимая переменная, аргумент; - символ (знак) закона соответствия; y=f(x) – значение функции f на заданном значении аргумента «х. Способ задания функции с помощью формулы называется аналитическим. Множество, для элементов которого существуют соответствующие значения, называется областью определения функции y=f(x). Например, для функции областью определения (часто обозначается Х) является промежуток [-1;1]. Множество значений функции y=f(x) –это множество всех тех чисел, каждое из которых по закону «f» соответствует некоторому числу При невозможности аналитического задания функции ее можно задать графически: график функции y=f(x) – это множество точек координатной плоскости вида. При графическом способе задания в таблице для каждого значения аргумента «х» указывается соответствующее значение функции y=f(x) (таблицами задаются тригонометрические функции, логарифмические). Функция строго возрастающая (возрастающая), если для любых таких, что, выполняется. Функция строго убывающая (убывающая), если для любых таких, что, выполняется (). Строго возрастающие, возрастающие, строго убывающие и убывающие функции - это монотонные функции. Ограниченная функция – это функция f (x),, для которой существует число М, что для любого всегда (1). В противном случае функция неограниченная. Геометрически условие (1) означает: график ограниченной функции размещается на координатной плоскости в полосе, ограниченной прямыми y=M и y= -M или (2), например y=sinx, (), функция y=5 x – неограниченная функция, её значения расположены в промежутке. Четная функция –это функция y=f(x), такая, что для любого выполняется f(-x)=f(x) (3) (- функции четные). Н ечетная функция –это функция y=f(x), такая, что для любого выполняется f(-x)=-f(х) (4) (- нечетные функции). График четной функции симметричен относительно оси ординат, график нечетной функции симметричен относительно начала координат. Из определения функции: закон «f» любому элементу ставит в соответствие единственный элемент.Зададим условие: различным элементам ставятся в соответствие различные элементы из множества В. Тогда можно построить функцию, которая любому элементу yВ ставит в соответствие единственный элемент х А, такой, что f(x)=y. Это - функция, обратная данной функции «f»:; для функции множество определения Х и множество значений Y меняются местами. Например, для y=sinx, заданной на отрезке (область определения Х), с множеством значений, существует обратная функция y=arcsinx с областью определения и множеством значений. Если независимая переменная «х» в функциональной зависимости y=f(x)() зависит, в свою очередь, от новой переменной «t» (), то функция является функцией от «t», это - сложная функция.
2. Функция с областью определения (множеством натуральных чисел) - это числовая последовательность: (5) или, где - член последовательности, «n» - номер члена последовательности. Число - первый член последовательности, - второй член, …. - n –ый или общий член последовательности. Последовательность задается функцией, порождающей эту последовательность:, формула позволяет вычислить любой член последовательности. Например, (а) - последовательность нечетных чисел (арифметическая прогрессия), формула для общего члена: (2n -1); б) - (геометрическая прогрессия), общий член. Монотонность последовательностей истолковывается с точки зрания понятия функции (см. выше).
Последовательность (с) представляется в виде, при возрастании «n» член приближается к числу 3 (начиная с тысячного номера член отличается от числа 3 меньше, чем на одну тысячную): число 3 является пределом последовательности (с): Предел последовательности - это число «а» такое, что если для любого заданного числа найдется такое натуральное N, зависящее от «» (), что для любого номера n>N выполняется неравенство: (6). Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, не имеющая предела – расходящейся. Если выполняется равенство (6), то последовательность сходится к числу «а». Если последовательность имеет предел, то она ограничена. Например для имеем, последовательность ограничена. Всякая ограниченная монотонная последовательность имеет только один предел. Последовательность при имеет предел «е»: (7). Число «е» иррационально и с точностью до равно 2,718281828, «е» приняли за основание системы натуральных логарифмов, с помощью которых многие формулы для вычислений записываются значительно проще. Для отыскания приближенных значений натуральных логарифмов по таблицам десятичных логарифмов используется формула перехода:. Бесконечно малая последовательность имеет пределом число нуль: (6). Свойства: [1]. Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел. [2]. Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.[3]. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.[4]. Для того, чтобы число «а» было пределом последовательности необходимо и достаточно, чтобы число было представлено в виде суммы (7), где - бесконечно малая последовательность.[5]. Для сходящихся: последовательностей и: (8), (9), если
, то (10).[6]. (11).
3. Предел функции y=f(x ) в точке х=а – это такое число А, что для любой последовательности допустимых значений аргумента, сходящейся к «а», последовательность соответствующих значений функции сходится к числу А. Иначе говоря, если, то; или если то: (12). Функция может либо иметь, либо не иметь предела. Например, если для некоторой последовательности значений аргумента, сходящейся к точке «а», последовательность соответствующих значений функции предела не имеет, то функция f(x) не имеет предела в точке х=а. Аналогично, функция f(x) не имеет предела в точке х=а, если для двух различных последовательностей значений аргумента, сходящихся к «а», последовательности соответствующих значений функции имеют разные пределы (при нахождении предела функции в точке не рассматривают значения функции в самой этой точке). Кроме конечного предела функции f(x) при существует понятие бесконечного предела. Например, функция, определенная для всех, принимает сколь угодно большие значения при «х», неограниченно близко приближающемся к нулю. В этом случае говорят, что функция в точке х=0 имеет бесконечный предел:. Бесконечно большая функция при -это функция y=f(x) такая, что (13). Бесконечно малая функция при - это такая функция y=f(x), что (14).
4. Свойства: [1]. Функция не может иметь двух различных пределов в данной точке.[2]. Если то.[3].Если,то.[4]. Для функций f(x),g(x), имеющих пределы:) (15); (16); Если,то (17). (18). (19). [5]. Если и в некоторой окрестности точки «а», (кроме, может быть самой точки «а»), выполняются неравенства, то ([5] называют свойством предела промежуточной функции). Например, вычислим пределы: (а); (b) (предел знаменателя равен нулю, вычислить предел частного нельзя) =; [6].Для того, чтобы число «А» было пределом функции f(x) при необходимо и достаточно, чтобы функция была представлена в виде суммы (20), где (бесконечно малая функция).
5. В вычислениях пределов функций используются замечательные пределы.
(а) (21) - предел существует и равен единице. Неравенство (а) справедливо для; разделим все члены неравенства (а) на | sinx |: (b); неравенство (b) равносильно неравенству (c);функции y=cosx и - функции четные, поэтому (d) при; перейдя к пределу, имеем:; из неравенства и свойства [8] имеем: (21) - первый замечательный предел. Например,
(б). (22) – предел (22) существует и равен числу «е».
Теорему можно доказать на основе свойств пределов последовательностей; (22) - второй замечательный предел. Например,
(а);
6.Определение непрерывной функции можно сформулировать, во-первых, на основе понятий приращения функции и аргумента. Для функции y=f(x) определенной на интервале (a;b) на оси ОХ точке можно дать некоторое приращение, тогда получим новую точку; разность - это приращение аргумента, разность, разность - приращение функции, соответствующее приращению аргумента. (а) Непрерывная функция в точке - это функция y=f(x),, у которой бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции: (23). Функция y=f(x) непрерывна на отрезке [ a,b ], если она непрерывна в каждой точке этого отрезка. Например, функция непрерывна в произвольной точке области определения функции R: если приращение, т.е., то приращение функции; вычисляем приращение функции:
: если, то и, то есть функция непрерывна, (23) является формализованной записью непрерывной функции. (б) Во вторых, функция y =f(x) непрерывна в точке, если предел функции в этой точке равен значению функции в самой точке: если существует и функция f(x) непрерывна в точке, то (для непрерывной функции f(x) предел функции в предельной точке равен значению этой функции в предельном значении аргумента). Свойства: [1]. Если функции непрерывны в точке, то их сумма, разность, произведение и частное (при ненулевом значении знаменателя) также непрерывны. [2]. Сложная функция непрерывной функции также непрерывна. [3]. Обратная функция от непрерывной функции также непрерывна. Все элементарные функции непрерывны на своей области определения. Если функция не является непрерывной, то говорят, что она терпит разрыв в точке: не непрерывна в точке х=0, имеем разрыв в этой точке.
