Студопедия
МОТОСАФАРИ и МОТОТУРЫ АФРИКА !!!

Авиадвигателестроения Административное право Административное право Беларусии Алгебра Архитектура Безопасность жизнедеятельности Введение в профессию «психолог» Введение в экономику культуры Высшая математика Геология Геоморфология Гидрология и гидрометрии Гидросистемы и гидромашины История Украины Культурология Культурология Логика Маркетинг Машиностроение Медицинская психология Менеджмент Металлы и сварка Методы и средства измерений электрических величин Мировая экономика Начертательная геометрия Основы экономической теории Охрана труда Пожарная тактика Процессы и структуры мышления Профессиональная психология Психология Психология менеджмента Современные фундаментальные и прикладные исследования в приборостроении Социальная психология Социально-философская проблематика Социология Статистика Теоретические основы информатики Теория автоматического регулирования Теория вероятности Транспортное право Туроператор Уголовное право Уголовный процесс Управление современным производством Физика Физические явления Философия Холодильные установки Экология Экономика История экономики Основы экономики Экономика предприятия Экономическая история Экономическая теория Экономический анализ Развитие экономики ЕС Чрезвычайные ситуации ВКонтакте Одноклассники Мой Мир Фейсбук LiveJournal Instagram

Конспект лекции




План лекции

ТЕМА II – ВЕКТОРЫ.

1.Векторы, линейные операции с векторами.

2.Линейная зависимость векторов. Базис на плоскости и в пространстве, координаты вектора.

3.Скалярное произведение двух векторов, длина вектора, угол между векторами.

4. Определители второго, третьего порядков.

5. Определители n- го порядка, свойства определителей .

6. Вычисление определителей n-го порядка (n=2,3.4).

7. Векторное произведене двух векторов.

8. Смешанное произведение трех векторов.

1. Вектор – направленный отрезок (отрезок, имеющий фиксированные начало и конец): , точка А – начало вектора , точка В –его конец. Длина вектора – модуль вектора: Единичные вектора: ; вектор нулевой . Коллинеарные векторы расположены либо на одной прямой, либо на параллельных прямых; если они одинакового направления, то ; если противоположного, то . Равные векторы - это коллинеарные векторы одинакового направления, имеющие равные длины: . Вектор переносится параллельно самому себе в любую точку пространства (плоскости), такой вектор - свободный. Два вектора противоположны, если ; для вектора противоположный ему вектор (- ), для - противоположный - . Линейные операции с векторами: сложение, вычитание векторов, и умножение вектора на число « ». Сумма векторов и - это вектор, соединяющий начало вектора с концом вектора , если построен в конце вектора , или сумма - это диагональ параллелограмма, построенного на векторах и из общего начала. Свойства: [1]. - [2]. -; [3]. .Разность векторов и - это вектор , удовлетворяющий равенству : . Разность – это вектор, соединяющий конец вычитаемого вектора с концом уменьшаемого вектора (векторы приведены к общему началу). Произведение вектора на число « » - это вектор : (1) коллинеарен вектору ; (2) ; (3) , если >0; либо , если <0; либо , если Например, для и вектор - коллинеарен вектору , одинакового с ним направления, его длина в три раза больше длины вектора . Для вектора ( ) : и .Свойства:[4]. ;[5]. , ; [6].Для вектора ( , ): . Записи или означают коллинеарность векторов и .

2. Линейно зависимые векторы – это векторы , для которых существуют числа , не равные нулю одновременно, такие, что выполняется равенство: (1). Линейно независимыевекторы таковы, что равенство (1) выполняется для всех . Если в равенстве (1) , то вектор выражается через остальные векторы: ; выражение (2) - линейная комбинация векторов . Поэтому: 1) если векторы линейно зависимы, то хотя бы один вектор выражается через остальные векторы в виде их линейной комбинации; 2) если один из векторов есть линейная комбинация остальных, то все векторы линейно зависимы. Три вектора на плоскости всегда линейно зависимы. Если на плоскости задано более трех векторов, то все они линейно зависимы. Два коллинеарных вектора на плоскости всегда линейно зависимы. Два неколлинеарных вектора на плоскости всегда линейно независимы. В пространстве компланарные векторы –это векторы, параллельные одной плоскости или принадлежащие ей. Тогда: [7]. Компланарные векторы с общим началом лежат в одной плоскости. [8]. Любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы (при числе векторов в пространстве больше четырех - векторы линейно зависимы). [9]. Для того, чтобы три вектора в пространстве были компланарными, необходимо и достаточно, чтобы они были линейно зависимы. [10]. Для того, чтобы три вектора в пространстве были линейно-независимыми, необходимо и достаточно, чтобы они были некомпланарны. [11]. Максимальное число линейно независимых векторов в пространстве равно трем.




Положение вектора на плоскости и в пространстве определяется базисом. Базис на плоскости – это 2 линейнонезависимых вектора (в пространстве –3 линейно независимых вектора). Если два вектора - базис на плоскости, - некоторый вектор, то из линейной зависимости трех векторов один из них линейно выражается через два других вектора: : вектор разложен по базису ( ); числа -это координаты вектора в базисе . В пространстве вектора - образуют базис, - вектор разложен по базису , числа - координаты вектора в базисе . Вектор по базису ( ) разлагается единственным образом. Углом между векторами называется величина « = » ( ) внутреннего угла треугольника АОВ ( рис.1).



Рис. 1

По определению: , угол если и , если . Орт- единичный вектор , направление которого совпадает с направлением оси. Ортогональная проекция вектора на ось - это число, равное произведению длины вектора на косинус угла между вектором и осью : (3) .Свойства:[12]. Проекция положительна, если угол острый, и отрицательна, если угол - тупой. [13]. =0, если угол = . [14]. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны. [15]. Проекция суммы векторов на ось равна сумме их проекций. [16]. При увеличении (уменьшении) вектора в раз, проекция вектора также увеличится (уменьшится) в раз. Для описания геометрических объектов в пространстве вводится прямоугольная декартова система координат (по имени французского математика Рене Декарта). В пространстве на осях OX, OY и OZ откладываются единичные векторы (орты) , , . Декартовы прямоугольные координаты вектора - это проекции вектора на оси координат; в пространстве: , на плоскости: . Векторы некомпланарны, образуют декартов прямоугольный базис ( в пространстве (на плоскости - базис , ), разложение вектора в базисе - единственно: , . Операции с векторами совпадают с операциями с их соответствующими координатами: если и , то и . При соединении точек (рис. 2) с началом координат (точкой О) получаем вектор , заданный двумя радиусами - векторами , и (4) (рис. 2).

.

Рис. 2

Если два ненулевых коллинеарных вектора и связаны соотношением , то такая же связь существует между их координатами: , откуда : (5) – у коллинеарных векторов их одноименные координаты пропорциональны.

Замечание. В равенстве (5) некоторые знаменатели могут оказаться равными нулю. Всякую пропорцию можно понимать как равенство вида , тогда равенство можно истолковать, как и так как , то (если один из знаменателей в пропорции равен нулю, то и соответствующий числитель также приравнивается нулю).

3. Скалярное произведение двух ненулевых векторов - нелинейная операция, это число, равное (6). Свойства: [17] . [18].(( . [19]. . [20]. ( (7)- скалярный квадрат вектора. [21]. (8); Перемножим скалярно два вектора (как многочлены) с учетом ( ), то (9) - скалярное произведение двух векторов в координатной форме. При : (10). Из (11). Для вектора , где :

(12). Из : (13).

4. Таблица вида (1), составленная из чисел - это матрица второго порядка, числа - элементы матрицы; и - строки матрицы, и - столбцы. Элемент матрицы обозначается стоит в i-ой строке и к - ом столбце. Матрице (1) ставится в соответствие число , это определитель матрицы: = . Например, для матрицы А= определитель 8+3=11. Квадратная матрица третьего порядка – это таблица вида А= (2), где числа. Для матрицы (2) существует определитель третьего порядка :

(3), вычисляется (3) разложением его на определители второго порядка по правилу:

(14)

В сумме (14): (а).В сумме - шесть слагаемых: три - со знаком плюс и три - со знаком минус.(б)Каждое слагаемое - произведение трех элементов определителя, никакие два из них не лежат в одном столбце или в одной строке. Из (14) имеем правило составления суммы для вычисления определителя (3): один из трёх положительных членов определителя (3) является произведением элементов главной диагонали, каждый из двух других – произведением элементов, лежащих на параллели к этой диагонали, и третьего множителя из противоположного угла матрицы. Отрицательные члены выражения (3) строятся по тому же правилу, но относительно второй диагонали. Правило изображается схематически (рис.3), где (с) показывает правило вычисления положительных членов определителя, а (d) – правило вычисления отрицательных членов (рис.3).

(с), (d)

Рис 3.

Например, 24+22-36=10.

5. Матрица может содержать любое натуральное число строк и столбцов. Квадратная матрица n - го порядка – это таблица из чисел, обозначается: (15). Определитель n – го порядка, порожденный матрицей (5), - это алгебраическая сумма членов, построенная по определенным правилам.

6.Вычисление определителей n – го порядка опирается на свойства.

[1]. При замене в определителе строк на столбцы его величина не изменится:

(16).

[2]. Если одна из строк (столбец) определителя состоит из нулей, то

[3]. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак.

[4]. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю. [5]. Если все элементы какой-то строки умножить на некоторое число «к», то и значение определителя умножится на это число «к». Иначе: общий множитель всех элементов строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя. [6]. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю. [7]. Если одна из строк определителя есть линейная комбинация его других строк, то . [8]. Определитель не изменится, если к элементам одной строки прибавить соответственные элементы другой строки, умноженные на одно же число (или линейную комбинацию строк). Минор M элемента определителя n-го порядка - это определитель, полученный из данного определителя вычеркиванием i-ой строки и к-ого столбца. Например, минором элемента определителя (3) является определитель (17). Алгебраическое дополнение элемента определителя n-го порядка – это его минор , взятый со знаком : (18). Например, алгебраическое дополнение элемента определителя (3) -это определитель Теорема: определитель равен сумме произведений элементов любой строки на их алгебраические дополнения (см. выше правило разложения определителя по элементам строки):

Равенство (19) означает разложение определителя по элементам первой строки. Например, для [10]. Сумма произведений элементов любой строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю.

7. Векторное произведение двух векторов - новый вектор удовлетворяющий условиям: 1) модуль численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и , приведенных к общему началу: , 2) вектор перпендикулярен плоскости параллелограмма, построенного на векторах : , 3) направление вектора таково, что если смотреть с его конца, то кратчайший поворот вокруг вектора в направлении от вектора к вектору должен осуществляться против часовой стрелки: . Если , то - векторный квадрат. Свойства: [1]. ; [2]. ; [3]. ; [4]. Если , то: либо (а) или , либо (б) векторы коллинеарны.[5]. Если коллинеарен , то =0. Чтобы векторы и были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы =0. [6]. (20). Векторное произведение в координатах: и :

. Из (a) ;

[1]: , , ,

(21); (22).

8. При последовательном умножении скалярного ( ) или векторного ( ) произведения двух векторов на третий вектор можно получить либо число, либо вектор. Конкретную геометрическую интерпретацию и применение в практике имеет случай, когда в результате получаем число.

Смешанное произведение трех векторов - это скалярное произведение вектора на вектор : (23). Для трех некомпланарных векторов абсолютная величина их смешанного произведения равна объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, приведенных к общему началу. Из свойств векторного произведении: модуль векторного произведения двух векторов равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах; тогда объем V параллелепипеда, построенного на векторах равен произведению площади его основания на высоту h, где , и ,

т.е. (24), (рис 4.)

Рис 4.

Свойства .[1]. ; [2]. ; Для векторов по свойствам и : , или , поменяв дважды местами строки, получим: (25).

Если векторы расположены в одной плоскости, то V параллелепипеда, построенного на этих векторах, равен нулю: . Чтобы векторы были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось: .





Дата добавления: 2014-01-24; просмотров: 651; Опубликованный материал нарушает авторские права? | Защита персональных данных


Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Сдача сессии и защита диплома - страшная бессонница, которая потом кажется страшным сном. 9236 - | 7441 - или читать все...

Читайте также:

  1. IV. Темы, выносимые на лекции
  2. V. Краткий конспект учебного курса
  3. Базовый конспект
  4. БЖД (Курс лекции)
  5. Бодров Ю.И. Лекции по хирургии
  6. Бодров Ю.И. Лекции по хирургии.. Бессилие хирургии перед инфекционными осложнениями было просто устрашающим. Очень точно охарактеризовал состояние хирургии в до асептический период великий
  7. Бодров Ю.И. Лекции по хирургии.. Важнейшей составной частью современной медицинской науки и практики является трансфузиология – раздел клинической медицины, изучающий вопросы переливания
  8. Бодров Ю.И. Лекции по хирургии.. Данный тип заболевания возникает в результате выхода внутренних органов, например сальника или кишечника за пределы брюшной полости через дефекты в области
  9. Бодров Ю.И. Лекции по хирургии.. Инструменты при операциях на органах брюшной полости
  10. Бодров Ю.И. Лекции по хирургии.. Как показывает клиническая практика – обезболивание в хирургии, является крайне важным этапом периоперативного периода, играющим если не основную, то одну из
  11. Бодров Ю.И. Лекции по хирургии.. Основные группы повреждений органов брюшной полости и прямой кишки
  12. Бодров Ю.И. Лекции по хирургии.. Перидуральная анестезия + эндотрахиальный наркоз


 

34.239.172.52 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.


Генерация страницы за: 0.004 сек.