double arrow

Конспект лекции. 1. Уравнение первой степени с тремя переменными

ТЕМА IV –АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.

План лекции (3 часа)

1. Уравнение первой степени с тремя переменными.

2. Cпособы задания плоскости.

3. Взаимное расположение двух плоскостей.

4. Расположение плоскости относительно системы координат.

5. Угол между двумя плоскостями.

6. Способы задания прямой в пространстве.

7. Взаимное расположение прямых в пространстве.

8. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

1. Уравнение вида (1) определяет в пространстве множество всех точек пространства, удовлетворяющих уравнению (1) (некоторую поверхность). Частный случай поверхности - плоскость. Конкретная плоскость может быть задана различными видами уравнения (1).

2. Каждая плоскость в пространстве однозначно определяется точкой и вектором, перпендикулярным плоскости. Точка тогда и только тогда, если или: (2) - уравнение плоскости, заданной точкой и перпендикулярным вектором. Уравнение (2)приводится к виду (3) – общее уравнение плоскости. Например, плоскость, проходящая через точку М(-1;9;5), перпендикулярно вектору из (2) имеет вид: x-y+4z-10=0, проходящая через точку параллельно плоскости x+y+z=0, где имеет вид x-y+z-1=0. Если плоскость проходит через три точки,и,не лежащие на одной прямой, то текущая точка плоскости принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда три вектора компланарны: или - уравнение плоскости, заданной тремя точками. Уравнение плоскости (3) можно преобразовать к виду (4) - уравнение плоскости в отрезках, где числа a,b,c –отрезки, отсекаемые плоскостью от осей координат. Если искомая плоскость проходит через заданную точку параллельно векторам, то произвольная точка плоскости принадлежит плоскости тогда и только тогда, если векторы компланарны: или (5) - уравнение плоскости, заданной точкой и направляющими векторами.

3. Уравнение плоскости: Ax+By+Cz+D=0 (1) - уравнение первой степени. Алгебраическая поверхность первого порядка - это геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (1), где А,В,С не равны нулю одновременно, и обратно: всякая алгебраическая поверхность первого порядка есть плоскость. Плоскость Ax+By+Cz+D=0 параллельна вектору, если: Am+Bn+Cp=0 (7)–условие параллельности плоскости и вектора. Если плоскости и параллельны, то вектора и коллинеарны:; в координатах:,,, и (8)- условие параллельности двух плоскостей; (9) - условие совпадения двух плоскостей.

4. Если плоскость (1) проходит через начало координат, то Ax+By+Cz=0. Если, то и, А=0, поэтому. Если плоскость (1) проходит через ОХ, то А=0, D=0, если через OY,то B=0,D=0. Если плоскость (1) совпадает с координатной плоскостью XOY, то A=0, B=0,D=0 –плоскость XOY задается уравнением z=0.

Табл.1

    Оси коорди-нат   Плоскость () параллельна одной из осей     Плоскость () проходит через ось   Координатные плоскости Плоскость () параллельна координатной плоскости   Плоскость () совпадает c координатной плоскостью
           
           
           

5.Угол между плоскостями и - это любой из двух смежных двугранных углов, образованных плоскостями.Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:: (10). Если,то и, в координатах:или (11) - условие параллельности двух плоскостей (см. выше). Если,то,откуда (12) - условие перпендикулярности двух плоскостей ( см. выше ).

6. Если (1) и (2) - две плоскости и не параллельна (т.е. не коллинеарен), то система (3) определяет некоторую прямую, как линию пересечения двух плоскостей и. Для непараллельных плоскостей и коэффициенты при переменных x,y,z не пропорциональны, тогда г.м.т., координаты которых удовлетворяют системе (3), есть прямая линия l, параллельная вектору (4) - направляющему вектору прямой l. Линия пересечения двух плоскостей принадлежит каждой из плоскостей: (или и, для скалярного произведения (после преобразований получаем тождество 0=0), т.е. - направляющий вектор прямой l.) Для точки и направляющего вектора прямой: или коллинеарен,, в координатах: или (5)- параметрическое уравнение прямой в пространстве. С другой стороны, из: (6) - каноническое уравнение прямой. Если прямая проходит через точки - текущая точка прямой, то векторы коллинеарны,, в координатах, откуда (7) – параметрическое уравнение прямой, проходящей через две точки.

7. Угол между двумя прямыми, заданными каноническими уравнениями; (их направляющие векторы и), равен углу между этими векторами: (8). Для параллельности прямых необходимо и достаточно, чтобы:, или (9). Для совпадения двух прямых должны быть коллинеарны три вектора:, и, где Для перпендикулярности прямых необходимо и достаточно, чтобы выполнялось: или (10).

8. Аналитически же можно выразить условия взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она параллельна нормали к плоскости:. Для и:, в координатах: А=km; B=kn; C=kp или (11).


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: