Конспект лекции. 1. Производная функции одной переменной

ТЕМА X – ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

План лекции (3 часа)

1. Производная функции одной переменной.

2. Вычисление производной по ее определению.

3. Правила вычисления производных.

4. Производные элементарных функций.

5. Таблица производных.

6. Производная порядка выше первого.

7. Дифференциал функции.

1. Пусть функция y=f(x) определена на (a; b), выберем, дадим приращение (положительное или отрицательное), новому значению аргумента х = соответствует новое значение функции:. При переходе от точки к точке () функция y=f(x) получает приращение (или), тогда отношение - это функция от Производная функции y=f(x) в точке - это предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, если предел этого отношения существует и: (1);производная обозначается: (читается: «дэ игрек по дэ икс»). Символ пока рассматривается как единый, а не как частное двух выражений. Действие нахождения производной функции – это дифференцирование; функция, имеющая производную в точке ,- функция дифференцируемая в этой точке; функция, дифференцируемая в каждой точке промежутка, д ифференцируема на всем промежутке. Угловой коэффициент касательной в данной точке к данной прямой иллюстрирует геометрический смысл производной.

2. Чтобы вычислить производную функции в точке надо:

1) придать аргументу некоторое приращение;

2) найти разность значений функции:

3) составить разностное отношение

4) вычислить предел: (1). Например:

(а) y=C, дадим приращение, =С - С=0,

: (2).

(б) y=x, дадим приращение, =,

,, (3).

(в) y=sinx, дадим приращение, =

=; =cosx, (4).Свойство производной функции: если функция дифференцируема в данной точке (имеет производную), она непрерывна в точке.

3. Пусть у функций U=U(x), V=V(x) существуют производные на своих областях определения: и. [1]. y=U V,тогда разделим все члены равенства на и перейдем к пределу: (5). Формула (5) распространяется на любое число функций. [2]. y=UV, тогда откуда,разделим все члены равенства на, перейдем к пределу при:, перейдем к пределу при:

Функция V=V(x) по условию имеет производную, она непрерывна:; (6).[3]. y=CV, или (7). [4]. где тогда

,. Все члены последнего равенства

разделим на и перейдем к пределу при:,

, (8).

[5]. (сложная функция), функция «y» имеет производную по переменной «u», а «f» –производную по переменной «х». Найдем производную функции «y» по переменной «х». В выражении перейдем к пределу при (т.к. u=f(x), то она непрерывна, т.е. при):,, (9). Например, производная сложной функции:;.

[6]. y=f(x) и - взаимно обратные функции. Теорема: Если существует то обратная функция имеет производную и. Доказательство. ( 1) и - взаимно обратные функции, тогда; (2) по (9): или 1=, откуда или (10).

4. Вычислим производные основных элементарных функций.

(г). y=cosx. Имеем по правилу дифференцирования сложной функции:; (11).

(д)y=tgx:, (12).

(е). y=ctgx: (13).

(ж). y=lnx (), (логарифмическая функция с основанием «е»). Приращение функции: =, разделим обе части последнего равенства на:

; перейдем к пределу:

(14).

(з). (логарифмическая функция с основанием «а»).

Если то, откуда или из: или (15).

( и ). (действительное число) – степенная функция.

Прологарифмируем:; lny –сложная функция от «х», тогда, (а);, (16).

(к) Пусть, где U=U(x), логарифмируем обе части равенства:; дифференцируем обе части: lny – сложная функция от «х», тогда;,; если U=x, то (17); в частности (18).

(л).y=arcsinx. Функция y=arcsinx - обратна функции x=siny;

(19).

По этому же алгоритму вычисляются производные других обратных тригонометрических функций.

5.Таблица производных.

6.Производная первого порядка дифференцируемой функции y=f(x) может тоже быть функцией. Если функция имеет производную, то она называется производной второго порядка: Производная от производной (n-1) – го порядка называется производной n -го порядка: (20).

7. По определению, равенство означает, что выражение неограниченно близко приближается к производной, т.е. разность при становится величиной бесконечно малой. Если, (- бесконечно малая), то; умножим обе части равенства на (а), где бесконечно малая более высокого порядка чем «»; не зависит от; - основная часть равенства (а), это - главная часть приращения функции, или дифференциал: (21). - приращение аргумента, геометрический смысл дифференциала показывает, что дифференциал независимой переменной равен её приращению: из (21 ): (22). Из (21): дифференциал функции равен произведению производной функции на дифференциал независимой переменной. Кроме того, обозначение производной приобретает смысл отношения дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной. Например,.