Конспект лекции

Формула Ньютона-Лейбница.

Основные свойства определенного интеграла

ТЕМА XI - НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

План лекции (3часа)

1. Первообразная функция и неопределенный интеграл

2. Свойства неопределенного интеграла

3. Таблица основных интегралов.

4. Общие методы интегрирования (непосредственное интегрирование с помощью таблиц, замена переменной, интегрирование по частям).

5. Интегрирование тригонометрических функций.

6. Понятие определенного интеграла.

8. Определенный интеграл с переменным верхним пределом.

10. Методы вычисления определенного интеграла.

11. Понятие несобственного интеграла.

1. Для операции дифференцирования существует обратная операция – отыскание функции по её заданной производной: операция интегрирования. К нахождению функции по её заданной производной приводят многие задачи физики, химии и др. Первообразная функция для заданной функции f(x) на заданном промежутке – это функция F(x) такая, что на этом промежутке. Например, функция - первообразная для функции (для любого:). Вместе с функцией первообразными для функции являются и функции (функции вида, где С –произвольная постоянная), функция, имеющая одну первообразную, имеет бесконечное множество первообразных. Теорема1. Если функция F(x) является первообразной для функции f(x) на некотором промежутке, то множество всех первообразных для функции f(x) задаётся формулой, (1), из (1): если известна первообразная F(x) для функции f(x), то все множество первообразных для f(x) исчерпывается функциями вида F(x)+C. Операция дифференцирования однозначна, поэтому первообразная для функции f(x) определяется с точностью до постоянной, выражение F(x)+C приобретает определенный смысл. Неопределенный интеграл от функции f(x) - это совокупность всех первообразных функций для функции f(x) вида F(x)+C, F(x) – первообразная для функции f(x), С - произвольная постоянная: (2), при. В формуле (2): f(x) – подинтегральная функция; f(x)dx – подинтегральное выражение; х - переменная интегрирования; - символ интеграла. Если функция f(x) непрерывна на промежутке [ a,b ], то на [ a,b ] у функции f(x) существует первообразная. Нахождение функции по её производной (или дифференциалу) - это интегрирование. Правильность интегрирования проверяется дифференцированием. Например,, так как.

2. Свойства: [1].;[2].;

[3]. (из [2],[3]: при совместных операциях дифференцирования и интегрирования символы дифференциала и интеграла уничтожаются). [4].; [5]..

3. На основе таблицы производных составлена таблица основных интегралов:

4.Общие методы интегрирования: (а) Непосредственное интегрирование с использованием таблиц связан с приведением подинтегрального выражения к табличной форме путем элементарных преобразований выражений и использованием свойств неопределенного интеграла. Например,

= (проверить правильность результата интегрирования можно дифференцированием). (б) Метод замены переменной интегрирования - это упрощение интеграла введением новой переменной «t», считая переменную «х» функцией от «t»: (а). Тогда, дифференцируем (а) по переменной «х»: и подставляем: (3) –формула замены переменной в неопределенном интеграле. В конце реешния необходимо вернуться к первоначальной переменной «х» по формуле. Например, в обозначим 5х=t, тогда 5dx=dt, и В: и

(в). Метод интегрирования по частям. Для произведения функций переменной «х» (U=U(x), V=V(x)) найдем дифференциал произведения:, d(UV)=UdV+VdU, откуда UdV=d(UV)-VdU. Интегрируем обе части:, (4) - это формула вычисления интеграла по частям: под знаком интеграла выделяются два сомножителя, один из которых - функция (U), второй - дифференциал некоторой другой функции (V), новое выражение VdU чаще вычисляется значительно проще. Например, в интеграле в подинтегральном выражении обозначим:

Полученные выражения подставляем в формулу (4):

=

5.. Интеграл вида сводится к интегралу от рациональной функции подстановкой, подстановка универсальна, она сводит данный интеграл к интегралу от рациональной функции по переменной «t» с помощью формул:

(а)

(b)