Конспект лекции. 1. Понятие функции нескольких переменных (двух, трех)

План лекции

ТЕМА 12 - ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ.

1. Понятие функции нескольких переменных (двух, трех).

2. Предел и непрерывность функции двух переменных.

3. Частные производные функции двух переменных.

4. Полный дифференциал функции двух переменных.

5. Дифференциал высшего порядка функции двух переменных.

6. Дифференцирование сложной функции двух переменных.

7. Дифференцирование неявной функции.

1.Если x,y – стороны прямоугольника, то его площадь S=xy зависит от двух переменных x,y (S-функция двух переменных); если x,y,z - стороны прямоугольного параллелепипеда, то его объем V=xyz зависит уже от трех переменных x,y,z (V- функция трех переменных). Существует зависимость переменной и от большего числа независимых переменных. Если G – некоторое множеcтво точек (пусть - это множество точек плоскости XOY), то произвольной точке M(x,y) G можно поставить в соответствие единственное число f(M)=u говорят: на множестве G задана функция с множеством значений U u=f(x,y). Множество G - это область определения функции, множество U (чисел вида f(x,y),) - это множество значений функции u=f(x;y). Область определения G функции u=f(x,y) в простейших случаях представляет собой или часть плоскости, ограниченную замкнутой кривой (точки кривой (границы области) либо принадлежат, либо не принадлежат области G); или совокупность нескольких частей плоскости. Геометрическим изображением множества значений U функции u=f(x,y) (множества точек пространства с координатами (x,y,z)) в прямоугольной системе координат (графиком функции) является некоторая поверхность. Существуют функции большего числа переменных: u=f(x,y,z,…t). Функции нескольких переменных задаются формулами. Множество точек M(x,y), для которых имеет смысл формула, называется естественной областью определения. Например, - круг с центром в начале координат и радиусом, равным единице. Линия уровня функции u=f(x,y) - это линия f(x,y) = С на плоскости XOY, в точках которой функция сохраняет постоянное значение: u = С. Например, для функции уравнение семейства линий уровня имеет вид. При различных действительных значениях С получаем концентрические окружности с центром в начале координат. Поверхность уровня функции u=f(x,y,z) - это поверхность f(x,y,z) = С, в точках которой функция сохраняет постоянное значение: u = С. Например, для функции уравнение семейства поверхностей уровня имеет вид при С =0 –это конус, при С>0 –это семейство гиперболоидов, при С<0 – семейство двуполостных гиперболоидов.

2.Окрестностью точки называется любой открытый (без включения границ) круг с центром в точке и радиусом R. Если, имеем - окрестность точки или множество всех точек с координатами,. Пределом функции f(M) при называется число А такое, что для любой последовательности точек такой, что, выполняется равенство: (1). Все теоремы функции одной переменной справедливы. Функция f(M)=f(x,y) называется непрерывной в точке М, если выполняется: или (2). Если функция непрерывна в каждой точке области G, то она непрерывна во всей области G.

3.Пусть функция u=f(x,y) определена в некоторой окрестности точки. Положим, тогда функция - это функция одной переменной «х». Производная функции по переменной «х» в точке - это частная производная по «х» от в точке: или,

(3). Частная производная по переменной y: (4). Иначе говоря, - это производная функции f(x;y) при - константе, - это производная функции f(x;y) при - константе. Например, для функции Частные производные также являются функциями двух переменных, для них существуют вторые частные производные: (5), (если первые производные непрерывны, то вторые производные по разным переменным (смешанные производные) равны между собой: (6). Например, для функции

Геометрически – первые частные производные функции u=f(x,y) – это угловые коэффициенты касательных к линиям пересечения поверхности u=f(x,y) с плоскостями, параллельными координатным плоскостям ZOY;XOX и проходящим соответственно через точку

4.Для функции u=f(x,y) дадим координатам точки M(x;y) (аргументам) соответствующие приращения Приращение функции u=f(x,y), соответствующее этим приращениям:. Функция

u=f(x,y) дифференцируема в точке M(x;y), если ее приращение в данной точке можно представить в виде: (7). А,В – это некоторые числа, не зависящие от, - бесконечно малые функции при; поэтому в (7) вторые слагаемые – бесконечно – малые величины. Выражение (8) – это главная линейная часть приращения функции u=f(x,y). Дифференциал функции двух переменных – это главная линейная часть ее приращения:. Для дифференцируемой функции u=f(x,y) точке M(x;y) функция u=f(x,y) имеет частные производные по переменным x;y и. Полный дифференциал функции u=f(x,y): или (9) – полный дифференциал функции двух переменных. Например, для функции u=cos(2x-3y):

Из (5) для функции: (а). Обозначим, тогда (10) - это полный дифференциал некоторой функции U. Обратная задача: когда выражение (11) становится полным дифференциалом некоторой функции? Условие: для того, чтобы (11) было полным дифференциалом некоторой функции U=U (x;y), необходимо и достаточно: (12). Из (а):, выполняется (12).

Свойства: [1]., [2].,

[3]., [4].. Например,.

5.Дифференциал второго порядка функции двух переменных – это дифференциал от полного дифференциала:

или. Например, для функции:

,

. Далее можно найти дифференциал третьего порядка и т. д.

6. Если функции непрерывные, дифференцируемые, то - это функция одной переменной «t», тоже дифференцируема и имеет производную по переменной «t». Для вычисления дадим переменной «t» приращение, тогда и переменные x,y,z получат приращения: (см. выше). Разделим все члены равенства на; при:, (так как все рассматриваемые функции непрерывны). Перейдя к пределу, получим:

или - формула дифференцирования сложной функции. Например, найти, если: =

, выразим x;y через переменную «t»:.

7. Функция F(x;y)=0 (13) неявная, если уравнение (13) нельзя разрешить относительно переменной ‘y’, например, - неявная функция. Считая «y» функцией от «x», дифференцируем (13) по формуле производной сложной функции: - формула дифференцирования неявной функции. Например,.