Конспект лекции. 4. Положительные ряды, их сходимость

ТЕМА XIII - ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

План лекции (1 час)

1. Понятие числового ряда.

2. Сходимость числового ряда.

3. Признаки сходимости рядов.

4. Положительные ряды, их сходимость.

5. Признаки сходимости положительных рядов: признак сравнения, признак Даламбера.

6. Знакочередующиеся ряды.

7. Абсолютная и условная сходимость числового ряда.

1.Для бесконечной последовательности составим сумму вида (1) – это числовой ряд, - члены ряда. Для ряда (1) составляются частичные суммы:

, частичные суммы ряда – это конечные суммы (часто называются отрезками).

2.Составим последовательность частичных сумм: (2). Ряд называется сходящимся, если существует предел, число S – это сумма ряда (1): (3) (если S существует, то ряд сходится). Ряд (1) расходящийся, если предела не существует. Например, ряд (при | q| <1 - бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, - сумма прогрессии), (4)- ряд сходится при | q| <1. Если q= 1, то и - ряд (4) расходится.

3. Из ряда (1) выделим первые n членов:, оставшийся ряд (5) – m – ый остаток ряда (1). Тогда ряд (5) сходится или расходится одновременно с рядом (1). Поэтому при исследовании ряда (1) можно рассматривать только остаток ряда. сли ряд (1) сходится, тогда сходится и остаток ряда – ряд (5). Пусть - сумма ряда (1); - сумма первых m членов ряда (1); - сумма остатка ряда (1), тогда, - это та погрешность, которая допускается, если вместо суммы S сходящегося ряда (1) рассматриваем сумму его первых членов: чем больше m, тем меньше эта погрешность:, (предел суммы m -го остатка равен нулю). Если ряд (1) сходится, то (чем больше m, тем меньше члены ряда). Необходимый признак сходимости ряда: если ряд (1) сходится, то общий член ряда (1) стремится к нулю при неограниченном возрастании числа членов ряда: для сходящегося ряда Следствие: если общий член ряда (1) при не стремится к нулю, то ряд (1) расходится. Свойства сходящихся рядов: [1]. Если ряд (1) сходится и его сумма равна S, то ряд (6) тоже сходится, его сумма равна CS, где С – постоянная.[2]. Для двух сходящихся рядов с суммой S (1) и (7) c суммой ряд тоже сходится с суммой

4.Положительный ряд – это ряд с неотрицательными членами, (1) – ряд положительный при. Если, тогда - последовательность - неубывающая. Из теории пределов: если последовательность неубывающая, то она ограничена сверху. Поэтому, чтобы положительный ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм была ограничена сверху.

5.Два основных признака сходимости положительных рядов: (I). Признак сравнения: если - два положительных ряда и, то (а) из сходимости ряда (С) следует сходимость ряда (В); (b) из расходимости ряда (В) следует расходимость ряда (С). Например, для ряда (с) сравним его члены с членами специально подобранного ряда: (d) (условие (b) можно проверить непосредственной подстановкой). Члены ряда (d) представим в виде:. Частичная сумма ряда (d):, тогда - ряд (d) сходится. Из по первому признаку сравнения – ряд (c) тоже сходится.

(II). Признак сходимости Даламбера ( 1717 – 1783гг.). Если ряд (1) положительный и существует предел, то (а) при - ряд сходится; (b) при - ряд расходится. При признак Даламбера ответа не дает. Например, для ряда:. По признаку Даламбера: - ряд сходится.

6.Ряд вида (8) - знакочередующийся. По теореме Лейбница: если в ряду (8) (члены ряда по абсолютной величине убывают) и, то ряд (8) сходится. Например, для ряда ряд сходится, так как

7.Кроме рядов положительных и знакочередующихся есть ряды с произвольно расположенными знаками у членов. Если (1) - ряд с любыми знаками членов, а ряд (9) составлен из модулей членов ряда (1), то если сходится ряд (9), то сходится и ряд (1). Ряд (1) –ряд абсолютно сходящийся, если сходится ряд (9). Если ряд (1) сходится, а ряд (9) расходится, то ряд (1) - условно сходящийся.