Положение точки (а следовательно, и любой геометрической фигуры) в пространстве может быть определено, если задана координатная система отнесения (наиболее удобна - декартова). Рассмотрим макет из трёх взаимно перпендикулярных плоскостей.
Рис.5 | H (П1) - горизонтальная плоскость проекций V (П2) - фронтальная плоскость проекций W (П3) - профильная плоскость проекций Плоскости проекций при пересечении образуют оси координат: x - ось абсцисс y - ось ординат z - ось аппликат Оси координат при пересечении образуют начало координат O (origo - начало). |
Плоскости проекций бесконечны. Они делят пространство на 8 частей - октантов.
В начертательной геометрии часто применяется система V/H - двух плоскостей проекций. При этом пространство делится на 4 четверти - квадранты.
Недостаток пространственной модели - её громоздкость, поэтому пользуются плоскостной моделью координатных плоскостей проекций - эпюром. Построение эпюра рассмотрим на примере построения эпюра точки.
II ТОЧКА И ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
1. Проецирование точки на две плоскости проекций.
Точка - основное, неопределяемое понятие геометрии. Она не может быть определена более элементарными понятиями. Точка не имеет размеров.
Пусть заданы точка А и три взаимно перпендикулярных плоскости проекций. Построим проекции точки в первом октанте (рис.6).
Рис.6 | Из точки А опустим перпендикуляры на плоскости проекций. Положение точки А в пространстве определяется тремя координатами (xA, yA, zA), показывающими величины расстояний, на которые точка удалена от плоскости проекций. A1,A2,A3 - ортогональные проекции точки А. A1 - горизонтальная проекция точки А A2 - фронтальная проекция точки А A3 - профильная проекция точки А |
Отрезки:
o [AA3]=[OAx] - абсцисса точки А
o [AA2]=[OAy] - ордината точки А
o [AA1]=[OAz] - аппликата точки А
Прямые (AA1),(AA2),(AA3) - проецирующие прямые (проецирующие лучи):
o (AA1) - горизонтально проецирующая прямая
o (AA2) - фронтально проецирующая прямая
o (AA3) - профильно проецирующая прямая
2. Проецирование точки на три плоскости проекций.
Чтобы получить эпюр точки, нужно преобразовать пространственный макет.
Фронтальная проекция точки А - A2 остаётся на месте, как принадлежащая плоскости V, которая не меняет своего положения.
Горизонтальная проекция A1 вместе с горизонтальной плоскостью проекций H, совмещаемой с плоскостью чертежа, опустится вниз и расположится на одном перпендикуляре к оси x с фронтальной проекцией A2.
Профильная проекция A3 будет вращаться вправо вместе с профильной плоскостью проекций W до совмещения с плоскостью чертежа. При этом A3 будет принадлежать перпендикуляру к оси z, проведённому через A2, и удалена от оси z на такое же расстояние, на которое горизонтальная проекция A1 удалена от оси x.
Таким образом, ЭПЮРОМ (комплексным чертежом точки) называется плоское изображение, полученное в результате ортогонального проецирования на две или несколько взаимно перпендикулярных плоскостей путём последующего совмещения этих плоскостей с одной плоскостью проекций (рис.7).
Рис.7 | Биссектрису угла между осями y называют постоянной прямой Ко эпюра Монжа. Полученная модель (эпюр) несёт такую же информацию, какая содержится в пространственном макете. |
Действительно, чтобы определить положение точки А в пространстве, необходимо знать 3 её координаты (x,y,z) - длины отрезков [AA3],[AA2],[AA1]. Величины этих отрезков могут быть определены на эпюре.
[AA3]=[A1Ay]=[A2Az]
[AA2]=[A1Ax]=[A3Az]
[AA1]=[A2Ax]=[A3Ay]
Горизонтальная проекция точки А определяется абсциссой x и ординатой y, фронтальная - x и z, профильная - y и z, т.е.
A1(x,y)
A2(x,z)
A3(y,z)
Отсюда следует, в частности, что:
o положение точки в пространстве вполне определяется положением её двух ортогональных проекций (т.к. по двум любым заданным ортогональным проекциям точки всегда можно построить недостающую её третью ортогональную проекцию)
o горизонтальная и фронтальная проекции любой точки принадлежат одному перпендикуляру (одной линии связи) к оси x
горизонтальная и профильная проекции любой точки принадлежат одному перпендикуляру (одной линии связи) к оси y
фронтальная и профильная проекции любой точки принадлежат одному перпендикуляру (одной линии связи) к оси z