Ряды Тейлора

Степенной ряд по степеням х-а

Рассмотрим

Сделаем замену: x-a=X

Найдём интервал сходимости полученного ряда, -R<x<R, сделаем обратную замену: -R<x-a<R|+a, a-R<x<a+R

Интервал сходимости полученного ряда имеет центр в точке А.

Пример:

На I курсе рассматривалась формула Тейлора для функции f(x) n+1 раз дифференцируемая в окрестности точки .

где

Если f(x) любое число раз дифференцируема в окрестности точки переходя к пределу в формуле Тейлора получим:

ряд стоящий в правой части равенства называется рядом Тейлора для функции f(x) по степеням , а сама формула называется разложением функции f(x) в ряд Тейлора.

Формально ряд Тейлора может быть получен для любой функции, но сходится к этой функции он будет только тогда, когда

Если этот предел , то ряд либо расходится, либо сходится к совсем другой функции.