2014-01-25
810
Определение: Семейство функций 
называется равномерно ограниченным на множестве D, если существует число M>0, что 
сразу для всех функций семейства и любого 
.
Теорема: Пусть функция 
-любое количество раз дифференцируема в окрестности точки 
и семейство ее производных любого порядка равномерно ограничено в окрестности точки ,то функцию можно разложить в ряд Тэйлора в окрестности точки .
Покажем что 
Остаточный член 
, где M>0 (т.к семейство производных равномерно ограничено)
Рассмотрим 
Можно показать по признаку Даламбера, что ряд сходится при любом х.
По необходимому признаку сходимости 
Рассмотрим 
Конец доказательства.
