Определение: Семейство функций называется равномерно ограниченным на множестве D, если существует число M>0, что сразу для всех функций семейства и любого .
Теорема: Пусть функция -любое количество раз дифференцируема в окрестности точки и семейство ее производных любого порядка равномерно ограничено в окрестности точки ,то функцию можно разложить в ряд Тэйлора в окрестности точки .
Покажем что
Остаточный член
, где M>0 (т.к семейство производных равномерно ограничено)
Рассмотрим
Можно показать по признаку Даламбера, что ряд сходится при любом х.
По необходимому признаку сходимости
Рассмотрим
Конец доказательства.