Тригонометрическим рядом Фурье для функции f(x) на интервале от
называется ряд вида:
, где
Условия разложимости:
Пусть f(x):
1) Периодическая с
2) Кусочномонотонна
3) Ограничена на функцию f(x) можно разложить в ряд Фурье на , который сходится к этой функции во всех точках непрерывности, в точках разрыва сумма ряда равна полусумме левого и правого предела функции.
Замечание: Основная трудность построения рядов Фурье в вычислении интегралов.
Пример:
Разложить функцию f(x)=x на в тригонометрический ряд Фурье, сделать чертеж.
Тригонометрический ряд Фурье от четных и нечетных функций и на интервале
Если f(x) – четная
- ряд Фурье по косинусам.
Если f(x) – нечетная
- ряд Фурье по синусам.
Если функция f(x) определена на интервале ее нужно продолжить (доопределить) на интервал и только потом построить ряд Фурье. Продолжение функции на интервал должно быть естественным, лучшее продолжение – четное или нечетное.
Четное продолжение:
Нечетное продолжение:
Пример:
Разложить функцию f(x)=1 на в тригонометрический ряд Фурье продолжив её на нечетным образом.
Тригонометрический ряд Фурье на интервале
Пусть f(x) определена на и период
Замена: определена на и с периодом и ее можно разложить в тригонометрический ряд Фурье:
, где
Замена:
t | ||
x |
- тригонометрический ряд Фурье по на
Условия разложимости функции в ряд Фурье на интервале аналогично условиям на интервале
Пример:
f(x)=2x+3 разложить в ряд Фурье
Ряды Фурье на интервале
Если f(x) кусочно-монотонна и ограничена на интервале , то её нужно продолжить на интервал либо чётным, либо нечётным образом.
Для чётного продолжения:
Для нечетного продолжения: