Тригонометрические ряды Фурье

Тригонометрическим рядом Фурье для функции f(x) на интервале от

называется ряд вида:

, где

Условия разложимости:

Пусть f(x):

1) Периодическая с

2) Кусочномонотонна

3) Ограничена на функцию f(x) можно разложить в ряд Фурье на , который сходится к этой функции во всех точках непрерывности, в точках разрыва сумма ряда равна полусумме левого и правого предела функции.

Замечание: Основная трудность построения рядов Фурье в вычислении интегралов.

Пример:

Разложить функцию f(x)=x на в тригонометрический ряд Фурье, сделать чертеж.

Тригонометрический ряд Фурье от четных и нечетных функций и на интервале

Если f(x) – четная

- ряд Фурье по косинусам.

Если f(x) – нечетная

- ряд Фурье по синусам.

Если функция f(x) определена на интервале ее нужно продолжить (доопределить) на интервал и только потом построить ряд Фурье. Продолжение функции на интервал должно быть естественным, лучшее продолжение – четное или нечетное.

Четное продолжение:

Нечетное продолжение:

Пример:

Разложить функцию f(x)=1 на в тригонометрический ряд Фурье продолжив её на нечетным образом.

Тригонометрический ряд Фурье на интервале

Пусть f(x) определена на и период

Замена: определена на и с периодом и ее можно разложить в тригонометрический ряд Фурье:

, где

Замена:

t
x

- тригонометрический ряд Фурье по на

Условия разложимости функции в ряд Фурье на интервале аналогично условиям на интервале

Пример:

f(x)=2x+3 разложить в ряд Фурье

Ряды Фурье на интервале

Если f(x) кусочно-монотонна и ограничена на интервале , то её нужно продолжить на интервал либо чётным, либо нечётным образом.

Для чётного продолжения:

Для нечетного продолжения: