1. Определение. Векторным произведением a´b неколлинеарных векторов а и b называется вектор, удовлетворяющий трем условиям:
(ВП1) Вектор a´b ортогонален векторам а и b.
(ВП2) | a´b | = |а||b|sinÐ(a,b).
(ВП3) Базис (a,b, a´b) векторного пространства V3 положительно ориентирован.
Векторное произведение коллинеарных векторов по определению полагают равным нулевому вектору. Проверьте, что условия (ВП1) и (ВП2) выполняются и в этом случае.
Замечания. (8.1) Условие (ВП3) показывает, что векторное произведение, как и смешанное, имеет смысл только в ориентированном трехмерном векторном пространстве.
(8.2) Отложим от произвольной точки А векторы АВ = а и AD = b, достроим треугольник ABD до параллелограмма ABCD и заметим, что площадь этого параллелограмма равна |АВ||АD|sinÐBAD = |а||b|sinÐ(a,b). Таким образом, условие (ВП2) имеет простой геометрический смысл: модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах-сомножителях.
(8.3) Векторное произведение равно 0 тогда и только тогда, когда сомножители коллинеарны. "Тогда" здесь следует прямо из определения, а "только тогда" – из 8.2: ведь если векторы неколлинеарны, то площадь построенного на них параллелограмма отлична от 0.
|
|
Покажем, как построить векторное произведение двух данных неколлинеарных векторов. Для этого снова построим параллелограмм ABCD, у которого АВ = а и AD = b, и проведем через точку А прямую т перпендикулярно плоскости АВС. На этой прямой от точки А отложим отрезки AE и AF, длиной |а||b|sinÐ(a,b) (рис.30). В силу условий (ВП1) и (ВП2) вектор a´b должен совпадать с AE или AF. Поскольку AE = –AF, базисы (а, b, АЕ) и (а, b, АF) противоположно ориентированы (упражнение 6.6). Поэтому ровно один из этих базисов ориентирован положительно. Входящий в него вектор (AE или AF) и будет единственным, удовлетворяющим все трем условиям (ВП1)-(ВП3). Таким образом у любых двух векторов есть векторное произведение, и притом только одно.
2. Связь скалярного, векторного и смешанного произведений.
(8.4) Теорема. Для любых векторов а, b и с выполняется равенство abc = (a´b)c. Подробнее: смешанное произведение трех векторов равно векторному произведению двух первых векторов, скалярно умноженному на третий вектор.
ÿ Если векторы а и b коллинеарны, то abc = 0 в силу компланарности векторов а, b и с, а (a´b)c = 0, поскольку a´b = 0. Если векторы а и b неколлинеарны, а вектор с компланарен с ними, то abc = 0 и (a´b)c = 0, поскольку вектор a´b перпендикулярен плоскости, которой параллельны векторы а, b и с. Таким образом, в этих двух случаях теорема справедлива.
Если векторы а, b и с некомпланарны, разложим вектор с по базису (а, b, a´b):
с = xa + yb + z(a´b). Поскольку a´b ^ а и a´b ^ b, имеем:
|
|
(a´b)c = (a´b)(xa + yb + z(a´b)) = x(a´b)a + y(a´b)b + z(a´b)(a´b) = z(a´b)2 (*).
Построим прямой параллелепипед АВСDА1В1C1D1, у которого АВ = а, AD = b и АА1 = a´b. Базис (а, b, a´b) по определению положительно ориентирован. Поэтому смешанное произведение ab(a´b) положительно. Но тогда
ab(a´b) = = ·|АА1| = |a´b||a´b| = |a´b|2 = (a´b)2,
откуда
abc = ab(xa + yb + z(a´b)) = хaba + yabb + z ab(a´b) = z(a´b)2 (**),
ибо aba = abb = 0 в силу компланарности сомножителей.
Сравнивая равенства (*) и (**), получаем требуемый результат. ÿ
3. Выражение векторного произведения в координатах и его алгебраические свойства.
(8.5) Теорема. Пусть в некотором положительно ориентированном ортонормированном базисе пространства V3 заданы векторы а(а1, а2, а3) и b(b1, b2, b3). Тогда вектор a´b имеет в этом базисе координаты
(, –, ).
ÿ Пусть в данном базисе a´b(x,y,z). По формуле 5.14, теореме 8.4 и свойству 7.9 имеем:
х = (a´b)i = abi = – aib = iab = = 1– 0+ 0= . Аналогично (как?) y = jab = –, a z = kab = . ÿ
Теперь нетрудно доказать другие алгебраические свойства векторного произведения:
(8.6) a´b = – b´a (антикоммутативность).
(8.7) (а1+а2)´b = a1´b + a2´b и a´(b1+b2) = a´b1 + a´b2 (дистрибутивность).
(8.8) (хa)´b = a´(xb) = х(a´b) (однородность).
ÿ Проверим, например, антикоммутативность. По теореме 8.5
a´b(, –, ) = (a2b3–a3b2, a3b1–a1b3, a1b2–a2b1).
По той же теореме
b´a(, –, ) = (a3b2 – a2b3, a1b3 – a3b1, a2b1 – a1b2) = –a´b. ÿ
Вычисления, проверяющие свойства 8.7 и 8.8, проведите сами.
4. Площади параллелограмма и треугольника. Возьмем произвольный треугольник АВD и достроим его до параллелограмма ABCD. В силу замечания 8.2 площадь параллелограмма ABCD равна модулю векторного произведения АВ´AD:
(8.9) = |AB´AD|.
Площадь параллелограмма ABCD вдвое больше площади треугольника АВD. Поэтому
(8.10) = |AB´AD|.
Полученные формулы в соединении теоремой 8.5 позволяют находить площадь параллелограмма или треугольника по известным координатам векторов его сторон (базис при этом, разумеется, должен быть ортонормированным).
(8.11) Упражнение. Выведите соответствующие координатные формулы.