double arrow

Векторное произведение векторов

1. Определение. Векторным произведением a´b неколлинеарных векторов а и b называется вектор, удовлетворяющий трем условиям:

(ВП1) Вектор a´b ортогонален векторам а и b.

(ВП2) | a´b | = |а||b|sinÐ(a,b).

(ВП3) Базис (a,b, a´b) векторного пространства V3 положительно ориентирован.

Векторное произведение коллинеарных векторов по определению полагают равным нулевому вектору. Проверьте, что условия (ВП1) и (ВП2) выполняются и в этом случае.

Замечания. (8.1) Условие (ВП3) показывает, что векторное произведение, как и смешанное, имеет смысл только в ориентированном трехмерном векторном пространстве.

(8.2) Отложим от произвольной точки А векторы АВ = а и AD = b, достроим треугольник ABD до параллелограмма ABCD и заметим, что площадь этого параллелограмма равна |АВ||АD|sinÐBAD = |а||b|sinÐ(a,b). Таким образом, условие (ВП2) имеет простой геометрический смысл: модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах-сомножителях.

(8.3) Векторное произведение равно 0 тогда и только тогда, когда сомножители коллинеарны. "Тогда" здесь следует прямо из определения, а "только тогда" – из 8.2: ведь если векторы неколлинеарны, то площадь построенного на них параллелограмма отлична от 0.

Покажем, как построить векторное произведение двух данных неколлинеарных векторов. Для этого снова построим параллелограмм ABCD, у которого АВ = а и AD = b, и проведем через точку А прямую т перпендикулярно плоскости АВС. На этой прямой от точки А отложим отрезки AE и AF, длиной |а||b|sinÐ(a,b) (рис.30). В силу условий (ВП1) и (ВП2) вектор a´b должен совпадать с AE или AF. Поскольку AE = –AF, базисы (а, b, АЕ) и (а, b, АF) противоположно ориентированы (упражнение 6.6). Поэтому ровно один из этих базисов ориентирован положительно. Входящий в него вектор (AE или AF) и будет единственным, удовлетворяющим все трем условиям (ВП1)-(ВП3). Таким образом у любых двух векторов есть векторное произведение, и притом только одно.

2. Связь скалярного, векторного и смешанного произведений.

(8.4) Теорема. Для любых векторов а, b и с выполняется равенство abc = (a´b)c. Подробнее: смешанное произведение трех векторов равно векторному произведению двух первых векторов, скалярно умноженному на третий вектор.

ÿ Если векторы а и b коллинеарны, то abc = 0 в силу компланарности векторов а, b и с, а (a´b)c = 0, поскольку a´b = 0. Если векторы а и b неколлинеарны, а вектор с компланарен с ними, то abc = 0 и (a´b)c = 0, поскольку вектор a´b перпендикулярен плоскости, которой параллельны векторы а, b и с. Таким образом, в этих двух случаях теорема справедлива.

Если векторы а, b и с некомпланарны, разложим вектор с по базису (а, b, a´b):
с = xa + yb + z(a´b). Поскольку a´b ^ а и a´b ^ b, имеем:

(a´b)c = (a´b)(xa + yb + z(a´b)) = x(a´b)a + y(a´b)b + z(a´b)(a´b) = z(a´b)2 (*).

Построим прямой параллелепипед АВСDА1В1C1D1, у которого АВ = а, AD = b и АА1 = a´b. Базис (а, b, a´b) по определению положительно ориентирован. Поэтому смешанное произведение ab(a´b) положительно. Но тогда

ab(a´b) = = ·|АА1| = |a´b||a´b| = |a´b|2 = (a´b)2,

откуда

abc = ab(xa + yb + z(a´b)) = хaba + yabb + z ab(a´b) = z(a´b)2 (**),

ибо aba = abb = 0 в силу компланарности сомножителей.

Сравнивая равенства (*) и (**), получаем требуемый результат. ÿ

3. Выражение векторного произведения в координатах и его алгебраические свойства.

(8.5) Теорема. Пусть в некотором положительно ориентированном ортонормированном базисе пространства V3 заданы векторы а(а1, а2, а3) и b(b1, b2, b3). Тогда вектор a´b имеет в этом базисе координаты

(, –, ).

ÿ Пусть в данном базисе a´b(x,y,z). По формуле 5.14, теореме 8.4 и свойству 7.9 имеем:

х = (a´b)i = abi = – aib = iab = = 1– 0+ 0= . Аналогично (как?) y = jab = –, a z = kab = . ÿ

Теперь нетрудно доказать другие алгебраические свойства векторного произведения:

(8.6) a´b = – b´a (антикоммутативность).

(8.7) (а12)´b = a1´b + a2´b и a´(b1+b2) = a´b1 + a´b2 (дистрибутивность).

(8.8) (хa)´b = a´(xb) = х(a´b) (однородность).

ÿ Проверим, например, антикоммутативность. По теореме 8.5

a´b(, –, ) = (a2b3–a3b2, a3b1–a1b3, a1b2–a2b1).

По той же теореме

b´a(, –, ) = (a3b2 – a2b3, a1b3 – a3b1, a2b1 – a1b2) = –a´b. ÿ

Вычисления, проверяющие свойства 8.7 и 8.8, проведите сами.

4. Площади параллелограмма и треугольника. Возьмем произвольный треугольник АВD и достроим его до параллелограмма ABCD. В силу замечания 8.2 площадь параллелограмма ABCD равна модулю векторного произведения АВ´AD:

(8.9) = |AB´AD|.

Площадь параллелограмма ABCD вдвое больше площади треугольника АВD. Поэтому

(8.10) = |AB´AD|.

Полученные формулы в соединении теоремой 8.5 позволяют находить площадь параллелограмма или треугольника по известным координатам векторов его сторон (базис при этом, разумеется, должен быть ортонормированным).

(8.11) Упражнение. Выведите соответствующие координатные формулы.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: