Аффинные координаты

Глава 2. Метод координат. Прямая на плоскости.

1. Аффинные координаты на прямой. Аффинным репером на прямой l называется упорядоченная пара R = (O, e), составленная из точки ОÎl (начала координат) и ненулевого вектора а, ||параллельного l. Точка О называется началом координат, а Ввектор а называется– базисным вектором репера, ибо он образует базис векторной прямой V(l). Наряду с парой (O, e), аффинным репером называют упорядоченную пару точек (О, Е), для которой ОЕ = е. Когда нам надо будет различать эти понятия, мы будем называть первую пару векторной, а вторую – точечной формой аффинного репера.

Отложим на прямой l вектор ОЕ = е. При заданной точке О по точке Е можно определить вектор е, и наоборот. Поэтому наряду с парой из точки и вектора (O, e) аффинным репером на прямой часто называют упорядоченную пару точек (О, Е). Когда нам надо будет различить эти пары, мы будем называть первую векторной, а вторую – точечной формой аффинного репера.

Радиус-вектором точки МÎl относительно начала координат О называется вектор ОМ. Поскольку радиус-вектор параллелен прямой l, его можно разложить по ее базисному вектору е: ОМ = хе. Число х называется аффинной координатой точки М в репере R. Пишут: А(х)_R или просто А(х), если по смыслу сказанного ясно, в каком репере берется координата.

Вспомним, чтоСогласно признаку 2.12, если ОМ = хе, то по определению произведения вектора на число х = |ОМ|/|е| при ОМ­­е и х = –|ОМ|/|е| при ОМ­¯е. Когда вектор е – единичный, эти формулы упрощаются: х = |ОМ| при ОМ­­е и х = –|ОМ| при ОМ­¯е. Если при этом назвать направление вектора е положительным, то получится, что х = |ОМ|, когда точка М лежит в положительном направлении от точки О и х = – |ОМ| в противном случае. Но это – в точности школьное определение координаты точки на координатной прямой. Таким образом, школьное определение координат на прямой – частный случай нашего (при |е| = 1).

Координата точки М в аффинном репере (O, e) на прямой l по определению совпадает с координатой ее радиус-вектора ОМ в базисе (е) векторной прямой V(l). Поэтому она определяется точкой М однозначно. Обратно, при заданном репере любое действительное число х однозначно определяет радиус-вектор ОМ = хе, а, значит, и точку М(х). Таким образом, всякий аффинный репер на данной прямой задает взаимно-однозначное соответствие между множеством всех точек этой прямой и множеством всех действительных чисел – их координат. Это соответствие называется аффинной системой координат (АСК) на прямой, заданной данным аффинным репером.

2. Аффинные координаты на плоскости. Аффинным репером на плоскости П называется упорядоченная тройка R = (О, е₁, е₂), составленная из точки ОÎП, называемой началом координат, и неколлинеарных базисных векторов е₁, е₂, параллельных плоскости П. Аффинными координатами точки МÎП в репере R называются координаты ее радиус-вектора ОМ в базисе B = (е₁, е₂) векторной плоскости V(П), то есть считается, что М(х,у)_R, если ОМ(х,у)_B, или, если вспомнить определение координат вектора,

М(х,у)_R Û ОМ = хе₁+ уе₂ (*)

Если базис B – ортонормированный, репер R тоже называется ортонормированным.

Аффинные координаты точки – это упорядоченная пара действительных чисел. Множество R² всех таких пар называется числовой плоскостью. Правило (*) задает взаимно-однозначное соответствие между точками плоскости П и парами чисел из R². Это соответствие называется аффинной системой координат на плоскости П, заданной репером R.

Отложим от начальной точки О репера R = (О, е₁, е₂) его базисные векторы ОЕ₁ = е₁ и ОЕ₂ = е₂. Упорядоченная тройка точек (О, Е₁, Е₂) называется точечной формой аффинного репера R, а прямые (ОЕ₁) и (ОЕ₂) – осями координат: (ОЕ₁) – осью абсцисс, (ОЕ₂) – осью ординат (рис. 31). Оси координат делят плоскость П на четыре координатные четверти. Точки О, Е₁, Е₂, координатные оси и четверти составляют аппарат АСК, заданной репером R.

Репер R порождает на осях абсцисс и ординат "местные" реперы R₁ = (О, е₁) и
R₂ = (О, е₂) соответственно. Посмотрим, как связаны заданные ими на осях "местные" АСК с АСК на плоскости. Возьмем на плоскости точку М(х,у)_R и отложим вектор
OM₁ = хе₁. Точка М₁ лежит на оси абсцисс и имеет там координату х в репере R₁. Из равенства (*) следует, что M₁М = OM – OM₁ = уе₂. Поэтому прямая (M₁М) параллельна оси ординат, и точка М₁ – это проекция точки М на ось абсцисс параллельно оси ординат. Таким образом, абсциссу точки М в репере R = (О, е₁, е₂) можно определить как координату ее проекции М₁ в "местной" АСК оси абсцисс. Аналогично можно определить и ординату. Ломаная ОМ₁М называется координатной ломаной, а параллелограмм ОМ₁ММ₂, где М₂ – проекция точки М на ось ординат – координатным параллелограммом точки М (рис. 32).

АСК, заданная ортонормированным репером, называется прямоугольной декартовой системой координат (ПДСК). Оба базисных вектора ПДСК – единичные. Значит, "местные" реперы превращают координатные оси ПДСК в координатные прямые в школьном смысле. Координатные оси ПДСК перпендикулярны. Значит, проекции точки на эти оси – это основания опущенных на них из точки перпендикуляров, а ее абсцисса и ордината – координаты этих оснований на соответствующих осях. Но именно так определяются координаты на плоскости в школе. Таким образом, наше определение ПДСК на плоскости совпадает со школьным.

3. Аффинные координаты в пространстве определяются аналогично координатам на плоскости, поэтому будем кратки (недостающие детали восстановите сами). Аффинным репером здесь называется упорядоченная четверка R =(О, е₁, е₂, е₃), где
(е₁, е₂, е₃) – базис векторного пространства V₃, а координатами точки М в репере R – координаты ее радиус-вектора OM в базисе (е₁, е₂, е₃). Аффинной системой координат, заданной репером R, называется взаимно-однозначное соответствие между точками пространства и упорядоченными тройками их координат, образующими числовое трехмерное пространство R³. Аппарат АСК в пространстве состоит из репера в точечной форме (О, Е₁, Е₂, Е₃), где ОЕ_i = е_i (i = 1, 2, 3), координатных осей (ОЕ₁), (ОЕ₂), (ОЕ₃), координатных плоскостей (ОЕ₂Е₃), (ОЕ₁Е₃), (ОЕ₁Е₂) и восьми октантов, на которые эти плоскости разбивают пространство. Ось (ОЕ₃) называется осью аппликат.

Пусть М(x,y,z)_R. Обозначим через M_x, M_y и M_z проекции точки М на координатные оси (ОЕ₁), (ОЕ₂), (ОЕ₃) параллельно соответствующим координатным плоскостям, а через M₁, M₂ и M₃ – проекции точки М на координатные плоскости (ОЕ₂Е₃), (ОЕ₁Е₃), (ОЕ₁Е₂) параллельно соответствующим координатным осям. Параллелепипед ММ_хМ₃М_уМ_zM₂MM₁ называется координатным параллелепипедом [11] (рис. 33), а ломаная ОМ_хМ₃М – координатной ломаной точки М. По правилу параллелепипеда ОМ = OM_x + OM_y + OM_z = OM_x + М_хМ₃ + М₃М, откуда OM_x = хе₁, OM_y = М_хМ₃ = yе₂, OM_z = М₃М = zе₃ (докажите!). Поэтому в "местных" реперах, порожденных репером R на координатных осях и плоскостях (определите их!), эти точки имеют координаты М_х(х), М_у(у), М_z(z), М₁(y,z), М₂(x,z), М₁(x,y). Таким образом, и в пространстве аффинные координаты точки есть координаты ее проекций на оси, а ПДСК (определите ее!) есть обычная школьная система координат.

4. Две задачи. Координатами вектора в аффинном репере называются его координаты в базисе, получающемся из этого репера отбрасыванием начала координат.

(9.1) Задача. В некоторой АСК с началом О даны точки М(x_0, y_0, z₀) и N(x_1, y_1, z₁). Найти координаты (a, b, c) вектора MN.

ð По определению координат MN = ON – OM = (x₁е₁+y₁е₂+z₁е₃) – (x₀е₁+y₀е₂+z₀е₃) = (x₁–x₀)е₁ + (у₁–у₀)е₂ +(z₁–z₀)е₃. Таким образом, вектор MN имеет координаты

(9.2) a = x₁ – x₀, b = у₁ – у₀, c = z₁ – z₀. ð

(9.3) Задача. В некоторой ПДСК даны точки М(x_0, y_0, z₀) и N(x_1, y_1, z₁). Найти длину вектора MN.

ð Применяя формулы 9.2 и 5.12, получаем, что

(9.4) . ð

Формулы 9.2 и 9.4 для плоскости получаются отбрасыванием равенства с = z₁ – z₀ в 9.2 и слагаемого (z₁ – z₀)² в 9.4.

5. Связь между координатами точки в двух АСК. Пусть точка М имеет координаты (x,y,z) в аффинном репере R = (О, e₁, e₂, e₃) и координаты (x',y',z') в аффинном репере R' = (O', f₁, f₂, f₃). Будем считать известными координаты начала и векторов репера R' в репере R: O'(x_0, y_0, z₀), f₁(с₁₁, c₂₁, c₃₁), f₂(с₁₂, c₂₂, c₃₂), f₃(с₁₃, c₂₃, c₃₃).

(9.5) Задача. Выразить координаты точки М в репере R через ее координаты в репере R'.

ð По определению координат и правилу треугольника имеем: xe₁+ ye₂+ ze₃ = OM = OO' + O'M = x₀e₁ + y₀ e₂ + z₀ e₃ + x'f₁ + y'f₂ + z'f₃ = x₀e₁ + y₀ e₂ + z₀ e₃ + x'(c₁₁e₁ + c₂₁e₂ + c₃₁e₃) + y'(c₁₂e₁+c₂₂e₂+c₃₂e₃) + z'(c₁₃e₁ + c₂₃ e₂ + c₃₃ e₃) = (x₀+c₁₁x'+c₁₂y'+c₁₃z')e₁+(y₀+c₂₁x'+c₂₂y' +c₂₃z')e₂ +(z₀+c₃₁x'+c₃₂y'+c₃₃z')e₃. Сравнивая теперь левую и правую части полученного равенства, по основному свойству базиса получаем:

(9.6) . ð