double arrow

Основные показатели среднего уровня вариационного ряда. Свойства средней арифметической

Основными показателями среднего уровня вариационного ряда являются средняя арифметическая взвешенная и средняя гармоническая взвешенная, методики расчета которых, приведены в п. 4.4, а также мода и медиана.

Средняя арифметическая обладает рядом свойств, позволяющих ускорить ее расчет.

1. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равна нулю: .

2. Если каждое индивидуальное значение признака умножить или разделить на постоянное число, то и средняя увеличится или уменьшится во столько же раз:

или .

Вследствие этого свойства индивидуальные значения признака можно сократить в с раз, произвести расчет средней и результат умножить на с.

3. Если к каждому индивидуальному значению признака прибавить или из каждого значения вычесть постоянное число, то средняя величина возрастет или уменьшится на это же число:

.

4. Если веса средней взвешенной умножить или разделить на постоянное число, средняя величина не изменится. Используя это свойство, при расчетах следует сокращать веса на их общий сомножитель либо выражать многозначные числа весов в более крупных единицах измерения. Исходя из этого свойства абсолютные значения весов можно заменить их процентным выражением, приняв ∑ f = 100.

5. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем от любого другого числа.

Это и первое свойство положены в основание изучения вариации признаков.

Прикладные свойства средней арифметической можно проиллюстрировать, применив упрощенный способ расчета, называемый «методом моментов», или способом отсчета от условного начала. Как правило, этот метод применяется для расчета средней арифметической величины по данным интервального вариационного ряда.

, или ,

где А – середина одного из центральных интервалов, имеющего, как правило, наибольший вес;

h – величина интервала,;

m ´- момент первого порядка, т.е. средняя арифметическая из значений ((хi - А) / h).

Когда при группировке значения осредняемого признака заданы интервалами, тогда при расчете средней арифметической величины в качестве значения признака в группах применяются середины этих интервалов. Для открытых интервалов в первой и в последней группе, если таковые имеются, значения признака надо определить экспертным путем исходя из сущности свойств признака и совокупности. Например, по данным табл. 5.4 можно минимальный возраст рабочих считать 17 лет. Тогда первый интервал будет от 17 до 20 лет, а максимальный возраст – 65 лет, тогда последний интервал – 50-65 лет. Для определения середины открытого интервала, при отсутствии возможности обосновать четкие границы совокупности, исходят из того, что ширина открытого интервала принимается равной ширине смежного с ним интервала, как показано в табл. 5.5.

Таблица 5.4 Таблица 5.5

Середины интервалов Середины интервалов

по группам рабочих по возрасту по группам предприятий по численности работающих

Группы рабочих по возрасту, лет Середина интервала   Группы предприятий по численности работающих, чел. Середина интервала
До 20 18,5   До 100  
20-30   100-200  
30-40   200-300  
40-50   300-400  
Старше 50 57,5 400 и выше  

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: