Показатели вариации
Одних только средних недостаточно для оценки тех или иных явлений, так как средние уравнивают, сглаживают индивидуальные особенности отдельных единиц совокупности, показывают типичный для данных условий уровень варьирующих признаков, и тем самым могут затушевывать различные тенденции в развитии. В этом случае исчисляют показатели вариации, характеризующие средние отклонения каждой единицы совокупности от среднего значения признака в целом.
Вариация имеет объективный характер и помогает познать сущность изучаемого явления.
Для измерения вариации в статистике применяют несколько способов, описательная характеристика которых представлена в табл. 5.6.
Дисперсия имеет ряд математических свойств, упрощающих технику ее расчета.
1. Если из всех вариант отнять какое-то постоянное число А, то дисперсия от этого не изменится.
2. Если все значения вариант разделить на какое-то постоянное число h, то дисперсия уменьшится от этого в h2 раз, а среднее квадратическое отклонение – в h раз.
|
|
Таблица 5.6.
Показатели вариации
Название показателя | Обозначение и методика расчета | Сущностная храктеристика | |
по несгруппированным данным | по сгруппированным данным | ||
Размах вариации | Улавливает только крайние отклонения значений признака, но не отражает отклонений от средней всех вариант в ряду. Чем больше размах вариации, тем менее однородна исследуемая совокупность | ||
Среднее линейное отклонение | Представляет собой среднее арифметическое значение абсолютных отклонений признака от его среднего уровня. Чем меньше среднее линейное отклонение, тем более однородны значения признака изучаемого явления | ||
Дисперсия | Представляет собой средний квадрат отклонений значений признака от его среднего уровня | ||
Среднее квадратическое отклонение | Является абсолютной мерой вариации и зависит не только от степени вариации признака, но и от абсолютных уровней вариант и средней, что не позволяет непосредственно сравнивать средние квадратические отклонения вариационных рядов с разными уровнями. Оно выражается в тех именованных числах, в которых выражены варианта и средняя | ||
Коэффициент вариации | Является относительной мерой вариации. Чем больше его величина, тем больше разброс значений признака вокруг средней, тем менее однородна совокупность по своему составу и тем менее представительна (типична) средняя |
Методика расчета показателя дисперсии упрощенными способами показана на рис. 5.4. Отметим, что способ моментов применим в том случае, если задан интервальный ряд с равными интервалами, а способ разности применяется в любых рядах распределения: дискретных и интервальных с равными и неравными интервалами.
|
|
Вариация признака определяется различными факторами, в результате чего различают общую дисперсию, межгрупповую дисперсию и внутригрупповую дисперсию.
Общая дисперсия (σ2) измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию. Вместе с тем, благодаря методу группировок можно выделить и измерить вариацию, обусловленную группировочным признаком, и вариацию, возникающую под влиянием неучтенных факторов.
Межгрупповая дисперсия (σ2м.гр) характеризует систематическую вариацию, т. е. различия в величине изучаемого признака, возникающие под влиянием признака – фактора, положенного в основание группировки.
Рис.5.4. Упрощенные способы расчета дисперсии
,
где k – количество групп, на которые разбита вся совокупность;
mj – количество объектов, наблюдений, включенных в группу j;
– среднее значение признака по группе j;
– общее среднее значение признака.
Внутригрупповая дисперсия (σ2j,вн.гр) отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, возникающую под влиянием неучтенных факторов и независящую от признака фактора, положенного в основание группировки.
, или, на основе метода разностей ,
где xij – значение i -ой варианты в группе j.
Если в сформированных группах отдельные данные встречаются не один раз, то для расчета внутригрупповой дисперсии используется формула средней арифметической взвешенной.
Среднее значение внутригрупповых дисперсий рассчитывается по формуле:
.
Существует закон согласно которому, общая дисперсия, возникающая под воздействием всех факторов, равна сумме дисперсии, возникающей за счет группировочного признака и дисперсии, появляющейся под влиянием всех прочих факторов. Этот закон связывает три вида дисперсии.
Правило сложения дисперсий: .
Правило сложения дисперсии широко применяется при исчислении тесноты связей между признаками (факторным и результативным). Для этого определяют эмпирический коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.
Эмпирический коэффициент детерминации (η 2) показывает, какая доля всей вариации признака обусловлена признаком, положенным в основание группировки. (η – греческая буква «эта»).
.
Эмпирическое корреляционное отношение (η) показывает тесноту связи между признаками - группировочным и результативным.
.
Оно изменяется в пределах от 0 до 1. Если η = 0, то группировочный признак не оказывает влияния на результативный, если η =1,то результативный признак изменяется только в зависимости от признака, положенного в основание группировки, а влияние прочих факторов равно нулю. Характеристика связи между признаками при соответствующих значениях эмпирического корреляционного отношения приведена в табл. 5.7.
Таблица 5.7
Качественная оценка связи между признаками
Значение η | 0-0,2 | 0,2-0,3 | 0,3-0,5 | 0,5-0,7 | 0,7-0,9 | 0,9-0,99 | ||
Характеристика связи | отсутствует | очень слабая | слабая | умеренная | заметная | тесная | очень тесная | функцио нальная |