Тема 3. Средние величины и показатели вариации

Средние величины - один из видов обобщающих показателей в статистике. Кроме понятия средних величин, студент должен усвоить их виды, условия применения и методы расчёта (2, с. 85-101; 3, с. 48-61).

В данной теме будет рассмотрен расчёт средних величин в вариационных рядах распределения, поэтому необходимо ввести следующие понятия и символы для их обозначения:

• варианты признака (х) - значение, величина отдельных вариантов признака в совокупности;

• частоты или веса (f) - число вариантов признака с различными значениями во всей совокупности единиц ;

• среднее значение признака в совокупности ( - х с «тильдой»).

Учащийся должен знать виды и условия применения отдельных видов средних, исчисляемых в вариационных рядах распределения:

1) средняя арифметическая применяется, когда в ряду распределения есть х и f;

2) средняя гармоническая применяется, когда в ряду распределения есть данные об х и М (общем объеме явления, признака - M=xf), но нет данных о частотах - f. Формулы расчета:

1. средней арифметической

- простой, не взвешенной

- взвешенной

2. среднегармонической

- простой ;

- взвешенной

Необходимо усвоить, что если расчет средней ведется из интервального ряда распределения с открытыми интервалами, то необходимо вначале:

1) закрыть открытые интервалы;

2) превратить интервальный ряд распределения в дискретный, исчислить среднее значение варианты признака (х) в каждой группе (2, с. 93; 3, с. 52), а уже потом исчислять среднюю для всей совокупности.

Особо следует обратить внимание на понятие и расчет моды и медианы в дискретном и интервальном рядах распределения.

Формулы для расчета в интервальном ряде распределения: (2, с. 98-100; 3, с.)

Моды ,

где M₀ -мода;

x_m₀ - нижнее значение модального интервала;

i _m₀- величина модального интервала;

f _m₀- частота модального интервала;

f _m_{0 -1}- частота интервала, предшествующего модальному;

f _m_{0 +1}- частота интервала, последующего за модальным.

Медианы ,

где Me - медиана;

х_me - нижнее значение медианного интервала;

- полусумма частот, определяющая место медианы;

S_me_-1 - сумма накопленных частот до медианного интервала;

f_me - частота медианного интервала.

Показатели вариации в анализе дополняют расчет средних величин, характеризуя меру колебаний, вариации признака в совокупности (2, с. 101-119; 3, с. 61-77).

Учащийся должен знать, что показатели вариации могут характеризовать

абсолютную меру колебаний (R, ē, σ) и выражаются в тех же единицах, что и варианта признака. Необходимо знать следующие виды показателей вариации и их формулы:

1) размах вариации: R = х_max - х_min;

2) среднее линейное отклонение;

а) простое ;

б) взвешенное ;

5) среднее квадратическое отклонение (σ), как корень квадратный из дисперсии (σ ²). Общий вид формулы среднего квадратического отклонения: , в том числе

а) простое ;

б) взвешенное .

Особое место среди показателей вариации занимает коэффициент вариации (), относительная мера колеблемости признака в совокупности, выражается в коэффициентах или процентах.