2014-01-25
748
Всё сказанное в этом параграфе верно для векторного пространства Ln произвольной размерности. Но для облегчения восприятия этого материала мы ограничимся случаем n = 3.
Пусть в векторном пространстве L 3выбраны два произвольных базиса B = { e 1, e 2, e 3} и B ¢= { e 1¢, e 2¢, e 3¢}. Пусть один и тот же вектор x в первом и втором базисе имеет соответственно координаты x (x 1, x 2, x 3) B и x (x 1¢, x 2¢, x 3¢) B ¢. Требуется найти связь между этими координатами.
Для решения этой задачи нам должно быть известно, как векторы второго базиса раскладываются по первому базису:
e 1¢ = c 11 e 1 + c 12 e 2 + c 13 e 3,
e 2¢ = c 21 e 1 + c 22 e 2 + c 23 e 3, (9)
e 3¢ = c 31 e 1 + c 32 e 2 + c 33 e 3,
Из коэффициентов этого разложения мы составляем матрицу
C =, (10)
которая называется матрицей перехода от первого базиса ко второму. Пишем так: B B ¢. При составлении этой матрицы мы коэффициенты из каждой строчки в записывали в соответствующий по номеру столбец. В соответствии с определением, что такое координаты, мы можем записать разложения вектора x по первому и второму базисам:
|
|
|
x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 (11.1)
x = x 1¢ e 1¢ + x 2¢ e 2¢ + x 3¢ e 3¢. (11.2)
Подставим в последнее равенство разложения (9):
x = x 1¢ (c 11 e 1 + c 12 e 2 + c 13 e 3) + x 2¢ (c 21 e 1 + c 22 e 2 + c 23 e 3) + x 3¢ (c 31 e 1 + c 32 e 2 + c 33 e 3).
Раскроем скобки и сгруппируем коэффициенты при одинаковых векторах:
x = (c 11 x 1¢ + c 21 x 2¢ + c 31 x 3¢) e 1 + (c 12+ c 22 x 2¢ + c 32 x 3¢) e 2 + (c 13+ c 23 x 2¢ + c 33 x 3¢) e 3.
Сравним это выражение с (11.1). В силу единственности разложения вектора по базису, получаем
x 1= c 11+ c 21 x 2¢ + c 31 x 3¢,
x 2 = c 12+ c 22 x 2¢ + c 32 x 3¢, (12)
x 3 = c 13+ c 23 x 2¢ + c 33 x 3¢.
Если использовать столбцы, составленные из координат
X =, X ¢ =.
То систему (12) можно переписать в виде одного матричного равенства:
X = C X ¢. (12¢)
Эти формулы позволяют найти координаты вектора в первом базисе, если известны его координаты во втором, т.е. они выражают «обратную связь». Для того, чтобы найти прямую связь мы из (12¢) выражаем
X ¢= C –1 X, (13¢)
Таким образом, вторые координаты выражаются через первые по формулам
= b 12 x 1 + b 22 x 2 + b 32 x 3,
x 2¢ = b 12 x 1 + b 22 x 2 + b 32 x 3, (13)
x 3¢ = b 13 x 1 + b 23 x 2 + b 33 x 3,
где B = C –1, т.е. коэффициенты bij берутся из матрицы, обратной к матрице перехода. Вместо того чтобы искать обратную матрицу, можно решить систему уравнений (12) относительно неизвестных x 1¢, x 2¢, x 3¢ и мы получим те же формулы (13).
Предположим теперь, что оба базиса B = { e 1, e 2, e 3} и B ¢= { e 1¢, e 2¢, e 3¢} являются ортонормированными. Тогда должно выполняться
e 1¢2 = (c 11)2 + (c 12)2 + (c 13)2 = 1,
e 1¢· e 2¢ = c 11· c 21 + c 12· c 22 + c 13· c 32 = 0.
И аналогично, сумма квадратов элементов каждого столбца матрицы C равна 1, а сумма произведений элементов одного столбца матрицы C на соответствующие элементы другого столбца равна нулю. Матрица, обладающая такими свойствами, является ортогональной, т.е. для неё выполнено C · C T= E (это изучается в курсе алгебры). Другими словами, для ортогональной матрицы обратная матрица совпадает с транспонированной. Переход от одного ОНБ к другому осуществляется с помощью ортогональной матрицы.
|
|
|
