Векторное пространство. Линейная зависимость векторов

25 26 27 28 29 30 31

ГЛАВА 5. АФФИННОЕ И ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО

СОДЕРЖАНИЕ.

Аффинное и евклидово пространство.

Глава 5

М.Н. Подоксёнов

ПРИЛОЖЕНИЕ

Значение критерия Пирсона χ²

df (v)	Уровень значимости α		df (v)	Уровень значимости α
0,10	0,05	0,01		0,10	0,05	0,01
	2,71	3,84	6,63			29,62	32,67	38,93
	4,61	5,99	9,21			30,81	33,92	40,29
	6,25	7,81	11,34			32,01	35,17	41,64
	7,78	9,49	13,28			33,20	36,42	42,98
	9,24	11,07	15,09			34,38	37,65	44,31
	10,64	12,59	16,81			35,56	38,89	45,64
	12,02	14,07	18,48			36,74	40,11	46,96
	13,36	15,51	20,09			37,92	41,34	48,28
	14,68	16,92	21,67			39,09	42,56	49,59
	15,99	18,31	23,21			40,26	43,77	50,89
	17,28	19,68	24,73			51,81	55,76	63,69
	18,55	21,03	26,22			63,17	67,50	76,15
	19,81	22,36	27,69			74,40	79,08	88,38
	21,06	23,68	29,14			85,53	90,53	100,43
	22,31	25,00	30,58			96,58	101,88	112,33
	23,54	26,30	32,00			107,57	113,15	124,12
	24,77	27,59	33,41			118,50	124,34	135,81
	25,99	28,87	34,81
	27,20	30,14	36,19
	28,41	31,41	37,57

Значение t -критерия Стьюдента

df (v)	Уровень значимости α		df (v)	Уровень значимости α
0,10	0,05	0,01		0,10	0,05	0,01
	6,3137	12,7062	63,656			1,7341	2,1009	2,8784
	2,9200	4,3027	9,9250			1,7291	2,0930	2,8609
	2,3534	3,1824	5,8408			1,7247	2,0860	2,8453
	2,1318	2,7765	4,6041			1,7207	2,0796	2,8314
	2,0150	2,5706	4,0321			1,7171	2,0739	2,8188
	1,9432	2,4469	3,7074			1,7139	2,0687	2,8073
	1,8946	2,3646	3,4995			1,7109	2,0639	2,7970
	1,8595	2,3060	3,3554			1,7081	2,0595	2,7874
	1,8331	2,2622	3,2498			1,7056	2,0555	2,7787
	1,8125	2,2281	3,1693			1,7033	2,0518	2,7707
	1,7959	2,2010	3,1058			1,7011	2,0484	2,7633
	1,7823	2,1788	3,0545			1,6991	2,0452	2,7564
	1,7709	2,1604	3,0123			1,6973	2,0423	2,7500
	1,7613	2,1448	2,9768			1,6839	2,0211	2,7045
	1,7531	2,1315	2,9467			1,6706	2,0003	2,6603
	1,7459	2,1199	2,9208			1,6576	1,9799	2,6174
	1,7396	2,1098	2,8982		∞	1,6449	1,9600	2,5758

Значение F -критерия Фишера при уровне значимости 0,05

df ₂ (v ₂)	df ₁ (v ₁)	df ₂ (v ₂)
																∞

	18,51	19,00	19,16	19,25	19,30	19,33	19,35	19,37	19,38	19,40	19,40	19,41	19,42	19,43	19,45	19,46	19,50
	10,13	9,55	9,28	9,12	9,01	8,94	8,89	8,85	8,81	8,79	8,76	8,74	8,71	8,69	8,66	8,62	8,53
	7,71	6,94	6,59	6,39	6,26	6,16	6,09	6,04	6,00	5,96	5,94	5,91	5,87	5,84	5,80	5,75	5,63
	6,61	5,79	5,41	5,19	5,05	4,95	4,88	4,82	4,77	4,74	4,70	4,68	4,64	4,60	4,56	4,50	4,36
	5,99	5,14	4,76	4,53	4,39	4,28	4,21	4,15	4,10	4,06	4,03	4,00	3,96	3,92	3,87	3,81	3,67
	5,59	4,74	4,35	4,12	3,97	3,87	3,79	3,73	3,68	3,64	3,60	3,57	3,53	3,49	3,44	3,38	3,23
	5,32	4,46	4,07	3,84	3,69	3,58	3,50	3,44	3,39	3,35	3,31	3,28	3,24	3,20	3,15	3,08	2,93
	5,12	4,26	3,86	3,63	3,48	3,37	3,29	3,23	3,18	3,14	3,10	3,07	3,03	2,99	2,94	2,86	2,71
	4,96	4,10	3,71	3,48	3,33	3,22	3,14	3,07	3,02	2,98	2,94	2,91	2,86	2,83	2,77	2,70	2,54
	4,84	3,98	3,59	3,36	3,20	3,09	3,01	2,95	2,90	2,85	2,82	2,79	2,74	2,70	2,65	2,57	2,40
	4,75	3,89	3,49	3,26	3,11	3,00	2,91	2,85	2,80	2,75	2,72	2,69	2,64	2,60	2,54	2,47	2,30
	4,67	3,81	3,41	3,18	3,03	2,92	2,83	2,77	2,71	2,67	2,63	2,60	2,55	2,51	2,46	2,38	2,21
	4,60	3,74	3,34	3,11	2,96	2,85	2,76	2,70	2,65	2,60	2,57	2,53	2,48	2,44	2,39	2,31	2,13
	4,54	3,68	3,29	3,06	2,90	2,79	2,71	2,64	2,59	2,54	2,51	2,48	2,42	2,38	2,33	2,25	2,07
	4,49	3,63	3,24	3,01	2,85	2,74	2,66	2,59	2,54	2,49	2,46	2,42	2,37	2,33	2,28	2,19	2,01

Примечание: df ₁ (v ₁) – число степеней свободы для большей дисперсии;

df ₂ (v ₂) – число степеней свободы для меньшей дисперсии.

Окончание приложения

df ₂ (v ₂)	df ₁ (v ₁)	df ₂ (v ₂)
																∞
	4,45	3,59	3,20	2,96	2,81	2,70	2,61	2,55	2,49	2,45	2,41	2,38	2,33	2,29	2,23	2,15	1,96
	4,41	3,55	3,16	2,93	2,77	2,66	2,58	2,51	2,46	2,41	2,37	2,34	2,29	2,25	2,19	2,11	1,92
	4,38	3,52	3,13	2,90	2,74	2,63	2,54	2,48	2,42	2,38	2,34	2,31	2,26	2,21	2,16	2,07	1,88
	4,35	3,49	3,10	2,87	2,71	2,60	2,51	2,45	2,39	2,35	2,31	2,28	2,22	2,18	2,12	2,04	1,84
	4,32	3,47	3,07	2,84	2,68	2,57	2,49	2,42	2,37	2,32	2,28	2,25	2,20	2,16	2,10	2,01	1,81
	4,30	3,44	3,05	2,82	2,66	2,55	2,46	2,40	2,34	2,30	2,26	2,23	2,17	2,13	2,07	1,98	1,78
	4,28	3,42	3,03	2,80	2,64	2,53	2,44	2,37	2,32	2,27	2,24	2,20	2,15	2,11	2,05	1,96	1,76
	4,26	3,40	3,01	2,78	2,62	2,51	2,42	2,36	2,30	2,25	2,22	2,18	2,13	2,09	2,03	1,94	1,73
	4,24	3,39	2,99	2,76	2,60	2,49	2,40	2,34	2,28	2,24	2,20	2,16	2,11	2,07	2,01	1,92	1,71
	4,23	3,37	2,98	2,74	2,59	2,47	2,39	2,32	2,27	2,22	2,18	2,15	2,09	2,05	1,99	1,90	1,69
	4,21	3,35	2,96	2,73	2,57	2,46	2,37	2,31	2,25	2,20	2,17	2,13	2,08	2,04	1,97	1,88	1,67
	4,20	3,34	2,95	2,71	2,56	2,45	2,36	2,29	2,24	2,19	2,15	2,12	2,06	2,02	1,96	1,87	1,65
	4,18	3,33	2,93	2,70	2,55	2,43	2,35	2,28	2,22	2,18	2,14	2,10	2,05	2,01	1,94	1,85	1,64
	4,17	3,32	2,92	2,69	2,53	2,42	2,33	2,27	2,21	2,16	2,13	2,09	2,04	1,99	1,93	1,84	1,62
	4,08	3,23	2,84	2,61	2,45	2,34	2,25	2,18	2,12	2,08	2,04	2,00	1,95	1,90	1,84	1,74	1,51
	4,03	3,18	2,79	2,56	2,40	2,29	2,20	2,13	2,07	2,03	1,99	1,95	1,89	1,85	1,78	1,69	1,44
	4,00	3,15	2,76	2,53	2,37	2,25	2,17	2,10	2,04	1,99	1,95	1,92	1,86	1,82	1,75	1,65	1,39
	3,94	3,09	2,70	2,46	2,31	2,19	2,10	2,03	1,97	1,93	1,89	1,85	1,79	1,75	1,68	1,57	1,28
∞	3,84	2,99	2,60	2,37	2,21	2,09	2,01	1,94	1,88	1,83	1,79	1,75	1,69	1,64	1,57	1,46	1,00	∞

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ГЕОМЕТРИИ

С ПРИМЕРАМИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Часть II.

(Электронный ресурс)

Для самостоятельной работы студентов

физического и математического факультетов

Витебск 2008

Автор: доцент кафедры геометрии и математического анализа

УО «ВГУ им. П.М.Машерова», кандидат физико-математических

наук М.Н.Подоксенов

Учебно-методическое пособие подготовлено в соответствии с типовой учебной программой по курсу «Геометрия» для студентов очного и заочного отделений математического факультета обучающихся по специальности «математика и информатика», «математика и физика». Излагаются теоретический материал и примеры решения задач.

ã Подоксенов М.Н., 2008.

ã УО «ВГУ им. П.М.Машерова, 2008.

ГЛАВА 5. АФФИННОЕ И ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО.. 4

§1. Векторное пространство. Линейная зависимость векторов. 4

§2. Базис и координаты в векторном пространстве. 8

§3. Евклидово векторное пространство. 9

§4. Преобразование координат в векторном пространстве. 13

§5. Аффинное и евклидово точечное пространство. 15

§5. Краткий обзор геометрии пространства A⁴. 17

§6. Пространство Минковского M⁴. 20

§7. Примеры решения задач. 22

ПРИЛОЖЕНИЕ. Умножение матриц. Обратная матрица. 31

Что такое геометрическое трехмерное пространство мы можем себе представить наглядно. Что такое четырехмерное пространство представить себе трудно: в окружающей нас повседневной реальности оно не существует. Цель данной главы: дать аксиоматическое определение пространства произвольной размерности. Также мы рассмотрим обзорно некоторые факты из геометрии четырехмерного пространства.

В параграфах 1, 2, 3, 4 мы коротко напомним материал из курса алгебры. Этот материал может быть использован студентами физического факультета для подготовки к экзамену по предмету «Аналитическая геометрия и высшая алгебра» или по предмету «Алгебра и геометрия». В Приложении излагаются необходимые сведения из курса алгебры про умножение матриц и обратную матрицу.

Значком отмечается окончание доказательств.

Определение. Пусть L – произвольное множество, для элементов которого заданы две операции: сложение элементов и умножение элемента на действительное число, так что " x, y, z Î L и "l,mÎ R выполнено x + y Î L, l x Î L (т.е. операции не выводят за пределы L), и при этом имеют место следующие аксиомы.

А1. x + y = y + x (коммутативность сложения);

A2. (x + y)+ z = x +(y + z) (ассоциативность сложения);

A3. $ o Î L такой что x + o = x (существование нулевого элемента);

A4. $ (– x)Î L такой что x +(– x)= o (существование противоположного элемента);

A5. l(x + y)=l x +l y

A6. (l+m) x =l x +m x

A7. (lm) x =l(m x) ;

A8. 1· x = x .

Тогда L вместе с данными операциями называется линейным или векторным пространством. Элементы этого пространства будем называть векторами.

Примеры. 1. Пространство V ², состоящее из всех геометрических векторов на плоскости, или V ³, состоящее из всех векторов в пространстве. Тогда А1 – A8 представляют собой свойства операций над векторами. Эти свойства мы доказывали в главе 1.

2. Арифметическое пространство R ³, элементами которого являются тройки действительных чисел, которые могут быть записаны в виде строки или столбца. Мы будем записывать эти тройки в виде столбца:

R ³= x ₁, x ₂, x ₃ Î R.

Операции в R ³определяются следующим образом. Если

X =, Y = ,

то

X + Y =, l X = .

Необходимо проверить, что в данном пространстве выполняются аксиомы А1 – А8. Проверим, например, А5.

l(X + Y )= l = = + = l X +l Y.

Роль нулевого элемента и элемента, противоположного к X очевидно, играют столбцы

O = и – X = ,

т.е выполнены А3 и А4.

Упражнение. Проверьте самостоятельно, что выполняются остальные аксиомы.

Аналогично определяется арифметическое пространство R ⁿ состоящее из столбцов высоты n.

3. Пространство P_n, которое состоит из всех многочленов с действительными коэффициентами, степени не превосходящей n:

P_n = { a _o+ a ₁ t + a ₂ t ²+…+ a_ntⁿ | a _o, a ₁,…, a_n Î R }

с обычными операциями сложения многочленов и умножения многочлена на число.

4. Пространство C ^o([0,1]), которое состоит из всех функций, непрерывных на отрезке [0,1].

Можно привести ещё массу примеров. Главное – уяснить себе, что векторное пространство может состоять из совершенно любых математических объектов, которые можно складывать и умножать на число, если, конечно, выполняются А1 – А8. При изучении дальнейшего материала, для простоты восприятия, можно представлять себе, что речь идет о геометрических векторах.

Из аксиом А1 – А8 можно вывести следующие следствия, которые доказываются в курсе алгебры:

1) единственность нулевого элемента;

2) единственность противоположного элемента;

3) 0· x = o ;

4) –1· x =– x ;

5) l· o = o " x Î L и "lÎ R.

Определение. Пусть x ₁, x ₂,…, x _n Î L – произвольные векторы, а l₁,l₂,…,l _n – произвольные числа. Тогда выражение

l₁ x ₁+l₂ x ₂+…+l _n x _n (1)

называется линейной комбинацией векторов x ₁, x ₂,…, x _n. Числа l₁,l₂,…,l _n называются коэффициентами линейной комбинации. Линейная комбинация (1) называется тривиальной, если все её коэффициенты равны нулю: l₁=l₂=…=l _n =0. Соответственно, линейная комбинация (1) называется нетривиальной, если среди её коэффициентов l₁,l₂,…,l _n есть хотя бы одно ненулевое число.

Определение. Векторы x ₁, x ₂,…, x _n называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому вектору:

l₁ x ₁+l₂ x ₂+…+l _n x _n = o. (2)

Соответственно векторы x ₁, x ₂,…, x_n называются линейно независимыми, если равенство (2) возможно только для тривиальной комбинации, т.е. когда l₁=l₂=…=l _n =0.

Примеры. 1. Векторы i, j, k в пространстве V ³ линейно независимы, а векторы a ₁= i + j, a ₂= i + j + k, a ₃= k линейно зависимы, т.к. 1· a ₁+(–1)· a ₂+1· a ₃= o.

2. В пространстве R ³столбцы

E ₁ =, E ₂=, E ₃=

линейно независимы. Действительно,

l₁ E ₁+l₂ E ₂+l₃ E ₃= O Û = Û l₁=l₂=…=l _n =0,

т.е. только тривиальная комбинация столбцов E ₁, E ₂, E ₃может быть равна нулевому столбцу. Если к столбцам E ₁, E ₂, E ₃ добавить произвольный столбец X =, то получим линейно зависимую систему столбцов { E ₁, E ₂, E ₃, X }, т.к.

x ₁· E ₁+ x ₂· E ₂+ x ₃· E ₃+ (–1)· X = O.

3. В пространстве P_n многочлены 1, t, t ²,…, tⁿ линейно независимы. Если к ним добавить любой многочлен f (t) степени n, то получим линейно зависимую систему.

Упражнение. Самостоятельно покажите, что функции f (t)º1, g (t)= cos t, h (t) =sin2 t в пространстве C ^o([0,1]) линейно зависимы.

Предложение 1. Векторы x ₁, x ₂,…, x _k (k >1) линейно зависимы, тогда и только тогда, когда один из них является линейной комбинацией остальных.