double arrow

Евклидово векторное пространство


Базис и координаты в векторном пространстве.

Определение. Пусть в векторном пространстве L выполнены еще две аксиомы:

А9.Существуют n линейно независимых векторов;

А10.Любые n +1 векторов линейно зависимы.

Тогда говорим, что векторное пространство L имеет размерность n и пишем dim L = n. Для векторного пространства размерности n используется обозначение Ln.

Определение. Базисом в Lnназывается любая система, состоящая из n линейно независимых векторов. Векторы, входящие в базис, называются базисными.

Пусть B ={e1, e2,…, en} – базис в Ln, а xÎ Ln– любой вектор. Тогда система {x,e1, e2,…, en} состоит из n +1 векторов, а значит, эти векторы линейно зависимы. Пусть

lox +l1e1+ l2e2 +…+ lnen = o, (*)

и комбинация нетривиальная. Тогда обязательно lo¹0. Действительно, предположим противное: lo= 0. Тогда среди l1, l2,…, ln есть хотя бы одно ненулевое число, и мы получаем условие линейной зависимости базисных векторов:

l1e1+ l2e2 +…+ lnen = o.

Но эти векторы по определению линейно независимы. Противоречие.

Поэтому lo¹0. Тогда из (*) получаем

x = e1+ e2 +…+ en .

Обозначим xi = –li /lo, i = 1,…, n, и получим что

x = x1e1+ x2e2 +…+ xnen . (2)

Определение. Выражение (2) называется разложением вектора xпо базису B. Числа x1, x2,…, xn называются координатами вектора xв базисе B. Пишем: x(x1, x2,… xn)B.

Если y = y1e1+ y2e2 +…+ ynen , то

x + y = (x1+ y1)e1+ (x2 + y2)e2 +…+( xn + yn)en ,

lx = lx1e1+ lx2e2 +…+ lxnen .

Таким образом, при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.

Сопоставим каждому вектору x(x1, x2,… xn) столбец, составленный из его координат:

x(x1, x2,… xn) « X = ,y(y1, y2,… yn) « Y = ,

x + y « X +Y = ,lx « lX = ,

Мы видим, что операциям над векторами соответствуют точно такие же операции над их координатными столбцами. Поэтому с точки зрения линейной алгебры произвольное векторное пространство Ln устроено точно также, как и Rn. Говорят, что Ln изоморфно Rnили, что Rnявляется моделью пространства Ln.

Замечание. Более точное определение изоморфизма векторных и евклидовых пространств изучается в курсе алгебры. Рекомендуется также ознакомиться с темой, как изменяются координаты вектора при замене базиса.

Определение. Пусть в векторном пространстве L задана ещё одна операция, сопоставляющая двум векторам x и y число x·y, так, что выполнены следующие аксиомы. " x, y, z ÎL и "lÎR

А11. x·y= x·y;

А12. x·(y + z) = x·y+ x·z;

А13.(lxy= l(x·y);

А14. x·x³0 и x·x=0 Û x=o.

Тогда данная операция называется скалярным произведением векторов, а пространство L вместе с этой операцией называется евклидовым пространством. Число x2=x·x называется скалярным квадратом вектора x.

Обозначение En означает евклидово пространство размерности n.

Если вместо А14 выполнено

А14¢. " xÎL $yÎL такой что x·y¹0,




то пространство L вместе с такой операцией называется псевдоевклидовым пространством.

Определение.Длиной вектора xв евклидовом пространстве называется число |x|=. Углом между векторами x и y называется такое число a, что cos a = . Векторы x и y называются коллинеарными, если $ R такое, что y = lx.

В силу А14|x| – действительное число, и |x|=0 Û x=o. Мы знаем, что |cos a|£1. Поэтому для того, чтобы имело смысл определение угла необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

£1 Û |x·y|£|x|·|y| Û (x·y)2£|x|2·|y|2 Û

Û (x·y)2£ (x·x)(y·y) (3)

Это неравенство называется неравенством Коши-Буняковского. Докажем его.

1 случай. Векторы x и y не коллинеарны. Тогда " R y ¹ lx ,т.е.lx + y ¹ o. Тогда согласно А14 " R

(lx + y)·(lx + y) > 0 Û l2(x·x) + 2l(x·y) +y·y> 0

Выражение в левой части неравенства представляет собой квадратный трехчлен относительно переменной l. Поскольку это выражение строго больше нуля, то для его дискриминанта получаем

= (x·x)(y·y) – (x·y)2<0.

Значит, имеет место (1) со строгим неравенством.

2 случай. x||y.Тогда $ R такое, что y = lx. Подставим это равенство в (3):

(x·lx)2£ (x·x)(lx·lx) Û l2(x·x)2£l2(x·x)2.

Таким образом, имеет место (3) со знаком равенства.

Попутно мы выяснили, что равенство в (3) достигается тогда и только тогда, когда x||y.

Для векторов в геометрическом пространстве имеет место неравенство треугольника

|x+y|£|x|+|y| (4)

Докажем его для произвольного евклидова пространства. Используя неравенство (1) в виде (x·y)2£|x|2|y|2 получаем

|x+y|2=(x+y)·(x+y)=x2+2x·y +y2£ |x|2+2|x|2·|y|2+|y|2=(|x|+|y|)2.



Остается извлечь корень из обеих частей неравенства. При этом, равенство в (2) имеет место тогда и только тогда, когда равенство имеет место в (1), т.е. когда x||y.

Определение.Векторы x и y называются ортогональными, если x·y = 0.

Заметим, что только нулевой вектор ортогонален каждому вектору. Действительно, если "yÎEn x·y = 0, то это должно быть выполнено и для y=x, т.е. x·x = 0. В силу А14 это равносильно x=o.

Определение.Система векторов {e1, e2,…, ekEnназывается ортонормированной, если все векторы единичные и взаимно ортогональные, т.е. " i, j = 1…k выполнено ei·ej= dij= (напомним, что dijназывается символом Кронекера).

Предложение. Ортонормированная система векторов линейно независима.

Действительно, пусть

l1e1+ l2e2 +…+ lkek = o.

Выберем произвольное i =1…k и домножим обе части равенства скалярно на e1:

(l1e1+ l2e2 +…+ lkek)·e1 =o·ei Û l1e1·e1 + l2e2·e1 +…+ lkek·e1 = 0

Отсюда

l1·1 + l2·0 +…+ lk·0 = 0 Û l1 = 0.

Аналогично, домножая на l2 получим l2 = 0 и т.д. Итак, l1= l2 =…= lk = 0.

В курсе алгебры доказывается следующая теорема.

Теорема. В Enсуществует ортонормированный базис (ОНБ), т.е. ортонормированная система, состоящая из n векторов (без доказательства).

Пусть B ={e1, e2,…, en} – ОНБ в En, x, yÎEn– произвольные векторы. Пусть x(x1, x2,… xn)B,y(y1, y2,… yn)B. Тогда

x·y = (xiei)·(yjej) = xiyj(ei·ej) =xiyjdij= xiyi.

Итак,

x·y = x1 y1+ x2 y2 +…+ xn yn , (5)

т.е. в ОНБ формула для вычисления скалярного произведения такая же, как и в обычном геометрическом пространстве, если координаты заданы в декартовой СК.

Из этой формулы следует, что

|x|= . (6)

Примеры. 1.Пространство V3 с обычным скалярным произведением векторов: · = | |½½ cosÐ( , ) представляет собой евклидово пространство. Аксиомы А11 А14в точности совпадают со свойствами этого произведения. Базис B ={i, j, k} представляет собой ОНБ.

2. В пространстве Rn для столбцов

X = ,Y = .

определим

X·Y = x1 y1+ x2 y2 +…+ xn yn . (7)

Упражнение 1.Проверьте самостоятельно, что при таком определении выполняются А11 А14.

Таким образом, Rnсо скалярным произведением (7) представляет собой евклидово векторное пространство. Легко проверить, что столбцы

E1 = , E2 = , ..., En =

составляют ОНБ.

Мы уже отмечали, что для любого векторного пространства Ln векторное пространство Rn может служить его моделью. Для этого надо в Lnвыбрать базис B и каждому вектору x(x1, x2,… xn)B сопоставить столбец X, составленный из его координат. Тогда линейным операциям над векторами будут соответствовать точно такие же операции над их координатными столбцами. Выберем теперь в евклидовом векторном пространстве EnОНБ B ={e1, e2,…, en} и по тому же принципу сопоставим каждому вектору его координатный столбец:

x(x1, x2,… xn)B « X = ,y(y1, y2,… yn)B « Y = .

Тогда x·y = x1 y1+ x2 y2 +…+ xn yn = X·Y . Таким образом, это соответствие сохраняет не только линейные операции над векторами, но и их скалярное произведение. Поэтому говорят, что Enизоморфно евклидову векторному пространству Rnили, что евклидово векторное пространство Rnявляется моделью пространства En.

Пусть теперь базис B ={f1, f2,…, fn} в En не является ортонормированным. Как вычислить скалярное произведение векторовx(x1, x2,… xn)B,y(y1, y2,… yn)B?

Обозначим gij=fi·fj, и из этих чисел составим матрицу

G = .

Она называется матрицей Грама базиса B . Эта матрица, очевидно, является симметрической: gji=fj·fi=fi·fj= gij. Тогда

x·y = (xiei)·(yjej) = xiyj(ei·ej) =gijxiyj. (8)

Если использовать координатные столбцы X и Y векторов x и y, то (8) можно переписать в матричном виде:

x·y = XТGY = x1 x2 xn G . (8¢)

Например в двумерном евклидовом пространстве эта формула выглядит так:

x·y == = g11x1y1 + g12(x1y2 + x2y1) + g22x2y2.

Если базис ортонормированный, то gij=dijиG = E (единичной матрице). Отметим ещё, что для любого базиса det G > 0.

Заказать ✍️ написание учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Сейчас читают про: