double arrow

Способы нахождения обратной матрицы


1. С помощью определения. Этот способ будет изучен на практических занятиях.

2. С помощью алгебраических дополнений. Мы ограничимся квадратными матрицами порядка 3.

Обозначим Aijматрица, которая получается из матрицы Aв результате вычёркивания i-ой строки и j-го столбца. Тогда её определитель называется минором, дополнительным к элементу : Mij= det Aij. Добавим теперь к этому минору знак «-», если сумма нечётна:

= (-1)i+jMij= (-1)i+jdet Aij.

Получившаяся величина называется алгебраическим дополнением элемента aij. Тогда

A-1= .

Таким образом, для того, чтобы получить обратную матрицу, мы в матрице Aна место каждого элемента ставим его алгебраическое дополнение, получившуюся матрицу транспонируем и умножаем на (det A)-1.

Пример. A = .

Составляем и вычисляем алгебраические дополнения; при этом размещаем их на бумаге в виде матрицы, так чтобы каждое алгебраическое дополнение оказалось на месте соответствующего ему элемента:

= = -2, = - = -2, = = 8,

= - = -2, = = -1, = - = 7

= = 4, = - = 4, = = -18.

Например, при составлении мы вычёркивали вторую строку и первый столбец; затем мы приписали знак «-», потому, что 2+1 нечётно. Теперь найдём определитель det A. Он равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) матрицы на их алгебраические дополнения. Возьмём вторую строку, т.к. в ней есть ноль:




det A = a21 + a22 + a23 = 2·(-2) + (-2)·(-1) + 0·(-7) = -2.

При составлении A-1не забываем, что алгебраические дополнения выписываются по принципу «строчка – в столбец»:

A-1= - = .

Обязательно следует сделать проверку AA-1= E:

= = .

2. С помощью элементарных преобразований строк матрицы.

Этот способ является более эффективным, чем предыдущий, только если числа в матрице являются достаточно небольшими по модулю. Мы выписываем рядом с матрицей Aединичную матрицу:

.

Затем мы совершаем элементарные преобразования строк этой матрицы, с целью привести её левую часть к виду единичной матрицы. Тогда на месте правой части получится матрица A-1.

Пример. A = .

Сначала мы пытаемся занулить все элементы в левой части, стоящие ниже диагонали. Затем зануляем элементы стоящие выше диагонали. Предполагается, что читатели уже знакомы с подобными действиями и использовали эти действия при решении систем линейных уравнений или при вычислении определителей. В отличие от последнего случая, мы можем ещё умножать строку на любое число, не равное нулю.

~ ~

~ ´(-1) ~

´1/2~ .

Итак, мы получили, что

A-1= .

Проверка:

= = .







Сейчас читают про: