double arrow

Свойства умножения матриц


ПРИЛОЖЕНИЕ Умножение матриц. Обратная матрица.

Пусть A – строка, а B – столбец, состоящие из одинакового количества элементов:

A = (a1, a2,…, an) B = .

Тогда их произведением называется число

A·B = a1b1 + a2b2 +…+ anbn.

Пусть Aи B– две матрицы, причём длина строк матрицы Aравна высоте столбцов матрицы B; другими словами, количество столбцов в Aсовпадает с количеством строк в B:

A = , B = .

Таким образом, размер матриц равен соответственно m´n и n´k. Обозначим

cji= AiBj= (ai1, ai2,…, ain) = ai1b1j+ ai2b2j+… + ainbnj

произведение i-ой строки матрицы A и j-го столбца матрицы B, i=1,…, m, j=1,…, k. Тогда элементы cjiобразуют матрицу C размера m´k, которая называется произведением матриц A и B. Например, произведением матриц A и B размера 2´3 и 3´5 соответственно будет матрица C размера 2´5 и в ней элемент с13 получается в результате произведения первой строки матрицы A и третьего столбца матрицы B.

Пример 1. В результате произведения матрицы A размера 3´3 и столбца X высоты 3 (т.е. матрицы размера 3´1) получается матрица размера 3´1, т.е. столбец

= .

Если B = , то запись AX = B означает

т.е. матричное равенство AX = B в развёрнутом виде представляет собой систему линейных уравнений.




Пример 2. = = .

Мы видим, что в результате произведения двух ненулевых матриц может получиться нулевая матрица.

1. Если определено AB, то произведение BAможет быть вообще не определено. Даже если определены оба произведения ABи BA, то они могут иметь разный размер и их нельзя приравнивать. Если ABи BA имеют одинаковый размер, то может быть, что AB ¹ BA. Для матриц из примера 1 имеем

= .

Если AB = BA, то говорят, что матрицы Aи Bкоммутируют.

2. A(B + С) = AB + ,(A + B)С = + .

3.(lA)B = l(AB).

4.(AB)С = ().

Этот список свойств не является полным. Мы отметили лишь часть свойств.

Определение. Матрица Xназывается обратной к матрице A, если

AX = XA = E. (14)

Тогда пишем, что X = A-1. Матрица A называется обратимой, если существует обратная к ней матрица A-1.

Из определения сразу же следует, что A и X– квадратные матрицы одинакового размера и detA·detX = detE = 1. Поэтому необходимым условием существования обратной к матрице Aявляется detA¹0. Примем без доказательства, что это условие является также и достаточным.







Сейчас читают про: