Пространство Минковского M4

Определение. Пусть в четырёхмерном аффинном пространстве существует репер, R = { O, E ₁, E ₂, E ₃} относительно которого скалярное произведение векторов (x ₁, x ₂, x ₃, x ₄), (y ₁, y ₂, y ₃, y ₄) вычисляется по формуле

· = x ₁ y ₁ + x ₂ y ₂ + x ₃ y ₃ - x ₄ y ₄.

Тогда это пространство называется пространством Минковского. Будем обозначать его M⁴.

Скалярный квадрат вектора вычисляется по формуле

² = x ₁² + x ₂² + x ₃² - x ₄².

Мы видим, что существуют ненулевые векторы, скалярный квадрат которых отрицателен или равен нулю.

Определение. Ненулевой вектор называется пространственноподобным, если ² > 0, времениподобным, если ²< 0, и изотропным, если ² =0.

Условие изотропности вектора имеет вид x ₁²+ x ₂²+ x ₃²- x ₄²= 0. Еслиотложить все изотропные векторы от начала координат, то их концы лежат на конусе K, который задаётся уравнением

X ₁²+ X ₂²+ X ₃²- X ₄²= 0.

Он называется конусом изотропных векторов или изотропным конусом. Если времениподобный (пространственноподобный) вектор отложить от начала координат, то представляющий его направленный отрезок будет находиться внутри (снаружи) конуса K.

На данном рисунке ,, – соответственно пространственноподобный, времениподобный и изотропный векторы.

В специальной теории относительности (СТО) используется пространство M⁴, в котором каждая точка M (X ₁, X ₂, X ₃, X ₄) называется событием. (X ₁, X ₂, X ₃) – трактуются, как координаты точки в трёхмерном пространстве, а X ₄= ct, где c – скорость света, а t – время. Иными словами «событие» – это единство пространства и времени. В таких обозначениях уравнение изотропного конуса:

X ₁²+ X ₂²+ X ₃²- (ct)²= 0.

Пусть (X ₁(t), X ₂(t), X ₃(t)) – траектория движения материальной точки в трёхмерном пространстве. Тогда ей соответствует траектория

(X ₁(t), X ₂(t), X ₃(t), t)

в пространстве M⁴. Эта траектория называется мировой линией. Луч света, исходящий из начала координат движется по прямой, которая лежит на изотропном конусе. Поэтому этот конус ещё называют световым конусом. Мировая линия для материальной точки, проходящая через начало координат, всегда лежит внутри светового конуса (потому, что скорость движения материальной точки меньше скорости света). Более того, касательный вектор к мировой линии в любой её точке всегда времениподобный. На рисунке она подписана буквой g.

Изотропный конус, вместе со своей внутренностью обозначим. Он делится на конус будущего K ⁺= { Q (X ₁, X ₂, X ₃, X ₄)Î | X ₄> 0}, и конус прошлого K ^–= { Q (X ₁, X ₂, X ₃, X ₄)Î | X ₄< 0}. K ⁺ состоит из тек точек в которые можно попасть из начала координат; K ^-состоит из тех точек, из можно попасть в начало координат. Если точка лежит вне, то между ней и началом координат не может быть никакой связи.