Функция распределения
Закон распределения случайной величины не всегда может быть задан таблицей. Например, если речь идет о непрерывной случайной величине, то все ее значения перечислить невозможно.
Общий способ задания любых типов случайных величин осуществляется с помощью любых функций распределения. Пусть х – действительное число для случайной величины Х. Рассмотрим событие Х<х, т.е. событие состоящее в том, что Х примет значение < х. Рассмотрим вероятность этого события. Если х будет изменяться, то будет изменяться и вероятность, т.е. вероятность есть некоторая функция от х.
Р(Х<х)=F(x)
Функция распределения (интегральная функция распределения) случайной величины x называется функция F(х), определяющая для каждого значения х вероятность того, что случайная величина примет значение < х.
Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения F(х) непрерывно дифференцируема.
1. Функция F(х) – не убывающая функция, при х2³х1, следовательно F(х2)³F(х1).
|
|
Доказательство: пусть Х – случайная величина. Х1 и Х2 – две произвольные точки, причем х1<х2. Сравним значение функции в этих точках. Так, как событие Х<x1 влечет за собой Х<x2, то вероятность также будет
Р(Х<x1)£Р(Х<x2)
F(x1)£F(x2)
2. Значение функции распределения принадлежит промежутку [0;1]. Свойство вытекает из определения 0£ F(x)£ 1, вероятность - есть неотрицательное число, не превышающее единицы.
3. Если возможные значения случайной величины принадлежат промежутку (a;b), то значение функции распределения равно нулю, если х<а равно 1, то F(х)= 0 и F(х)= 1, если х>b,
F(х)= 0 х<а
F(х)= 1 х>b
Доказательство.
1) Пусть х1£а, тогда событие X<х1 – невозможно, т.к. значения меньших х1, величина х по условию не принимает, следовательно его вероятность равна 0.
2) Пусть х2³b, тогда событие X<х2 достоверно, т.к. все возможные значения X<х2, следовательно вероятность такого события равна 1.
Следствие: если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси ox, то справедливо следующее соотношение.
;
.
График функции распределения в общем случае представляет собой график неубывающей функции, значение которой начинаются от нуля и доходят до 1. Причем в отдельных точках функция может иметь разрывы.
Для дискретной случайной величины график F(х) имеет ступенчатый вид.
Пример:
Два стрелка сделали по выстрелу в мишень. Вероятность попадания первого в мишень равна 0,6, для второго 0,8. Составить таблицу распределения и построить ее график.
Обозначим x -число попаданий в мишень, тогда x принимает значения:
x | |||
P | 0,08 | 0,44 | 0,48 |
A 1-попал первый;-не попал первый;
|
|
A 2- попал второй; -не попал второй,
;
;
|
Вероятность попадания случайной величины в пределы заданного участка.
Зная функцию F(x), вычислим вероятность того, что случайная величина примет значение заключенное в интервале (a;b). Пользуясь теоремой сложения вероятностей запишем вероятность того, что х<b будет складываться из вероятностей Р(х<b)=Р(х<a)+Р(а£х). Выразим Р(а£х<b)=Р(х<b)-P(x<a)=F(b)-F(a). Таким образом искомая вероятность равна приращению функции распределения на данном интервале.
Отдельная вероятность попадания в точку. Полученную формулу нахождения вероятностей используем для х=а при условии, что
Пример: Случайная величина задана функцией распределения
F(x)= 0 x <2;
F(x -2 ) 2 2£ x £3;
F(x)= 1 x >3.
Вычислить вероятность случайной величины в интервале P(3,5£ х £2,5) и Р (1< х <2,5).
P (3,5< x <2,5)= F (3,5)- F (2,5)=1-(2,5-2)2=1-0,25=0,75;
Р (1< х <2,5)= F (2,5)- F (1)=0,25.
Плотность распределения
Непрерывную случайную величину можно задать с помощью плотности распределения вероятностей случайной величины, которая является дифференцируемой функцией распределения. Рассмотрим непрерывную случайную величину x, функция распределения которой непрерывна и дифференцируема.
Определение: плотностью распределения случайной величины x, называют первую производную от функции распределения f(x)=F(x). Установим вероятностный смысл. Из определения производной следует, что это есть предел от приращения функции к приращению аргумента. Разница функций распределения в точке х+Dх, это есть вероятность того, что х попадает в интервал от (х+Dх).
Т.е. плотность распределения случайной величины в точке х, равно пределу отношения вероятности попадания случайной величины х в интервал от х до х+Dх к Dх, когда Dх ®0.
Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал.
Задача.
Зная плотность распределения величины x, вычислим вероятность того, что случайная величина примет значение принадлежащее интервалу от (a;b).
P(a<x<b)=F(b)-F(a)=
Рассмотрим график плотности распределения.
Кривая распределения имеет вид:
Вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (a;b) равно площади криволинейной трапеции, ограниченной осью ox, кривой распределения f(x) и прямыми х=а, х=b. График функции y=f(x) – называется кривой распределения.
Основные свойства плотности распределения.
1. Функция f(x) неотрицательна f(x)³0, как производная от неубывающей функции.
2. Несобственный интеграл от (-¥; ¥).
Несобственный интеграл выражает вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале (-¥; ¥). Такое событие всегда достоверно, его вероятность равна 1.