2014-01-25
908
Известно, что между множеством упорядоченных пар действительных чисел 
и множеством всех точек плоскости может быть установлено взаимно однозначное соответствие.
Представим комплексное число 
как упорядоченную пару действительных чисел . Следовательно, каждому комплексному числу 
может быть поставлена в соответствие точка плоскости 
, и наоборот.
Это дает возможность рассматривать комплексные числа как точки координатной плоскости, которую называют комплексной плоскостью.
Ось абсцисс называется действительной осью 
(на ней расположены точки, соответствующие числам 
), ось ординат – мнимой осью 
(на ней лежат точки, соответствующие мнимым числам 
).
0 
Часто удобно истолковывать комплексное число как вектор 
. Это позволяет дать простое геометрическое истолкование операциям над комплексными числами:
1) при сложении комплексных чисел их радиус-векторы складываются (по правилу параллелограмма),
2) при вычитании к.ч. их радиус-векторы вычитаются;
3) модуль разности к.ч. есть расстояние между точками комплексной плоскости, которые соответствуют этим числам;
4) 
- модуль суммы комплексных чисел не превосходит суммы модулей чисел-слагаемых
0 
Пример. Дать геометрическое истолкование сумме и разности комплексных чисел 
и 
.
· Модулем 
комплексного числа называется длина соответствующего этому числу вектора:
.
Комплексные числа, имеющие один и тот же модуль 
, соответствуют точкам комплексной плоскости, расположенным на окружности радиуса 
с центром в начале координат.
Зная модуль числа, можно однозначно задать комплексное число можно, задав направление вектора 
с помощью величины угла .
· Аргументом комплексного числа 
называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором .
Величина угла считается положительным, если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицательной, если по часовой стрелке.
Аргумент к.ч., в отличие от модуля, определяется не однозначно. Например, аргументами к. ч. 
являются углы 
, 
, 
и, вообще, каждый из углов 
, где 
- произвольное действительное число. Любые два аргумента отличаются на число, равное 
.
Таким образом,
, где 
, 
· Главным значением 
аргумента к.ч. называется наименьшее по модулю значение аргумента, причем 
.
