Модели ARIMA

Модель авторегрессии .

Основная идея данного метода анализа временного ряда состоит построении линейной модели зависимости от предыдущих значений временного ряда , следующего вида:

(22)

Для более простой записи такого рода моделей можно использовать лаговый оператор.

Лагом переменной называется ее значение в предыдущий момент времени:

(23)

Наряду с понятием лаговый оператор существует понятие лаговый многочлен:

(24)

С использованием (24) формулу (22) можно переписать следующим образом:

(25)

где - оператор авторегрессии, и модель (22) можно переписать более кратко:

(26)

Модель процесса Маркова записывается следующим образом:

(27)

Свойства данного процесса: , , если . В случае, если , неограниченно растет и дисперсия процесса будет стремиться к .

Коэффициент автоковариации между и равен .

Соответственно, коэффициент автокорреляции равен .

Условие стационарности процесса: или .

Примеры процессов авторегрессии первого порядка приводятся на следующих графиках

Модель процесса Юла записывается следующим образом:

(28)

Условие стационарности для данного процесса: корни уравнения

должны лежать вне единичного круга .

Коэффициенты модели вычисляются следующим

образом:

при условии

Общая модель .

Для модели вида:

(29)

коэффициенты определяются следующим образом.

Умножим уравнение (29) на и вычислим математические ожидания правой и левой части уравнения:

Делением на правой и левой частей уравнений, получаем рекуррентное соотношение:

. (30)

На основании формулы (30) строится система уравнений Юла-Уокера:

Кроме непосредственного решения системы Юла-Уокера, на практике коэффициенты модели определяются также по методу наименьших квадратов.

Модель скользящего среднего .

Основная идея данного метода анализа временного ряда состоит в построении линейной модели зависимости от предыдущих ошибок , следующего вида:

(31)

При помощи лагового оператора можно привести модель (31) к виду: , где - инновации, белый шум.

На основании свойств белого шума , . Эти условия означают, что процесс, представленный моделью (31), стационарный.

Коэффициент автокорреляция вычисляется следующим образом:

Любую модель MA можно привести к модели AR, это свойство меделей получило название свойство обратимости. Рассмотрим модель :

При в правой части уравнения содержится модель .

То есть можно привести к .

Выполним аналогичные преобразования для модели :

.

Таким образом, модельможно привести к . При этом модель обладает свойством обратимости, если соответствующая ей модель стационарна.

Смешанные модели .

Смешанные модели авторегрессии и скользящего среднего имеют следующий вид: . (32)

При помощи лагового оператора модель (32) записывается так:

(33)

Модель стационарна, если стационарна входящая в нее модель авторегрессии, то есть корни уравнения лежат вне единичного круга.

Для идентификации параметров модели используют следующую таблицу, показывающую зависимость параметров модели от вида автокорреляционной и частной автокорреляционной функции:

Модель	ACF	PACF
Белый шум, MA(0)	для k ≠ 0	для k ≠ 0
AR(1), > 0	Экспоненциальное убывание	, k ≥ 2
AR(1), < 0	Осциллирующее убывание	, k ≥ 2
AR(p)	Убывание к нулю с возможной осцилляцией	Нулевые значения при k ≥ p
MA(1), > 0	Положительный пик при k = 1; зануление при k > 1	Осциллирующее убывание;
MA(1), < 0	Отрицательный пик при k = 1;зануление при k > 1	Убывание по абсолютной величине; при k ≥ 1
MA(q)	Нулевые значения при k ≥ q	Убывание к нулю
ARMA(1, 1), > 0	Экспоненциальное убывание с лага 1; знак совпадает со знаком (+)	Осциллирующее убывание с лага 1;
ARMA(1, 1), <0	Осциллирующее убывание с лага 1; знак совпадает со знаком (+)	Экспоненциальное убывание с лага 1; , знак совпадает со знаком , k > 1
ARMA(p, q)	Осциллирующее или прямое убывание, начинающееся с лага q	Осциллирующее или прямое убывание, начинающееся с лага p

Модель (модель Бокса и Дженкинса).

Рассмотренные выше модели , , подходят для исследования стационарных временных рядов. Если временной ряд не стационарен, то применяются модели .

Введем в рассмотрение разностный оператор: , тогда - результат применения разностного оператора. Результат применния разностного оператора порядка выглядит следующим образом:

(34)

Если , то .

Вычисление разностей производится для приведения исходного ряда к стационарному ряду.

При наличии единичных корней характеристического уравнения , разность порядка временного ряда может быть представлена, как стационарный обратимый процесс следующего вида:

(35)

(36)

то есть разность порядка моделируется при помощи, оператор называется обобщенным оператором авторегрессии.

После замены модель (36) примет следующий вид:

(37)

Далее делаем оценку параметров как в модели .

При возврате к исходным переменным выполняется следующее:

. (38)

Для разности первого порядка:

.

На основании модели можно строить более общую модель, учитывающую авторегрессию и тренд сезонности. Такие модели имеют обозначение , где - параметры основного ряда, - параметры сезонного ряда, с числом сезонов цикле.

Пример построения модели .

Поскольку ряд не стационарный, поэтому берем разность первого порядка. Преобразованный ряд и его автокорреляция выглядят следующим образом:

Ряд, который образует сезонность, также является не стационарным, поскольку коррелограмма показывает медленное убывание автокорреляции с периодом 12. Поэтому берем еще одну разность порядка 12 (порядок сезонности). Преобразованный ряд и его автокорреляция выглядят следующим образом:

Наличие ненулевого значения автокорреляции на первом лаге свидетельствует о возможности использования для моделирования данного ряда моделей AR(1), MA(1) или ARMA(1,1). Моделью с наименьшей ошибкой оказалась модель MA(1).

Таким образом, итоговой моделью ряда является . Исходный ряд и прогнозные значения для последнего года представлены на следующем графике:

Автокорреляция и частная автокорреляция остатков модели.