Вывод уравнения стоячей волны

Выберем систе­му координат так, чтобы ось х была направлена вдоль луча бегущей волны и начало О координат совпадало с точкой, находящейся на источнике MN плоской волны (см. рис.)

С учетом этого, уравнение бегущей волны запишется в виде

x₁=Acos(wt—k x) (40)

Поскольку в точку с координатой х волна возвратится, прейдя дважды расстояние (l - х), и при отражении от стены, как среды более плотной, изменит фазу на p, то уравнение отраженной волны может быть записано в виде

x₂=Acos{wt — k[ x+ 2(l—x)]+ p} (41)

После очевидных упрощений получим:

x₂=Acоs[wt — k (2 l — х)] (42)

Сложив уравнения (40) для бегущей волны и уравнение (42) для отраженной волны, найдем уравнение стоячей волны:

(43)

x=x₁₊x₂=Acos(wt — k x)— Acos[wt — k(2 l—x)] (44)

Воспользовавшись формулой разности косинусов:

(45)

Найдем

x= -2Asink(l—x)sin(wt — k l) (46)

Так как выражение Asink (l—х) не зависит от времени, то, взятое по модулю, оно может рассматриваться как амплитуда стоячей волны:

(47)

- формула для амплитуды стоячей волны