Примечание
Примечание 2
Оператор называется оператором Эйлера-Лагранжа.
Через него формула Лагранжа записывается в следующей форме
,
где
.
В конце этой лекции в Дополнениях 2.1 и 2.2 к главе 1 показывается расчет кинематических характеристик точки на примере цилиндрических координат (§6) и сферических координат (§7).
Дополнения к лекции 4 по главе 1 «Кинематика точки»
1. Дополнения к §5
§5. Задание движения материальной точки
в криволинейных координатах
1.1. Дополнение 1 к §5
7º. Союзная система координат и ее связь с основной. Ковариантные координаты вектора
Поясним смысл терминов «ковариантные» и «контравариантные» координаты, которые введены в §5 в пункте 7.
В указанном пункте доказали формулу (1.5.23):
. (1.5.23)
где
, , — координаты вектора в союзной системе,
, , — координаты этого же вектора в основной
системе,
— матрица метрических коэффициентов
основной системы.
Из (1.5.23) заключаем, что имеет второй смысл.
Она является матрицей перехода от основной системы к союзной системе координат.
|
|
Заметим, что основное правило, по которому осуществляется расчет координат вектора в любой новой системе координат по координатам этого вектора, известным в некоторой фиксированной аффинной системе, является соотношение вида
, (1.5.24)
где
— координаты вектора в «новой системе» координат,
, , — координаты вектора в заданной
(фиксированной, «старой») системе,
— неособая матрица, называемая матрицей перехода от
«старой» системы к «новой» системе координат.
Фиксируем неособую матрицу .
Будем говорить, что координаты любого вектора согласованно изменяются по отношению к его координатам , , заданным в фиксированной основной системе координат, если они рассчитываются по формуле (1.5.24).
Система координат, для которой является матрицей перехода от фиксированной основной системы, называется согласованной с основной системой через матрицу .
Из (1.5.23)
(1.5.23)
следует, что союзная система является согласованной с основной через матрицу метрических коэффициентов основной системы.
Поэтому координаты векторов в этой (союзной) системе называются ковариантными (слово «ковариантные» в переводе с французского означает «согласованно изменяющиеся»).
Они согласованно изменяются через матрицу .
Основные координаты вектора могут быть вычислены через согласованные координаты (координаты этого вектора в новой системе координат) при фиксированной матрице по формуле
. (1.5.25)
Очевидно, матрица является матрицей перехода от «новой» системы координат к «старой» (основной) системе.
В этом случае выражение (1.5.25) можем трактовать как обратный закон пересчета координат, а координаты вектора в основной («старой») системе могут рассматриваться как координаты «противоположно меняющиеся» при фиксированной матрице по отношению к новым координатам.
|
|
Поэтому координаты вектора в основной системе (координаты ) по отношению к союзной системе принято называть контравариантными координатами (при переводе с французского языка слово «контравариантные» означает «обратно изменяющиеся»).
Термин «контравариантные координаты» имеет и другой смысл.
А именно, он означает, что эти координаты меняются (рассчитываются) по обратному закону относительно некоторой фиксированной системы координат.
Если матрица задана, то согласно определению 9 эти координаты согласованы с заданной фиксированной системой координат через обратную матрицу .
Применим это правило к основной и союзной системам координат.
Если считать, что координаты союзной системы фиксированы (заданы), а основной — пересчитываются по ним, то этот пересчет осуществляется с помощью обратной матрицы .
А тогда согласно указанному выше правилу:
координаты основной системы следует называть «контравариантными», поскольку они согласованы с фиксированными (союзными) через обратную матрицу .
1.2. Дополнение 2 к §5
8º. Скорость точки в криволинейной системе координат. Лемма Лагранжа