Вычислим базис основной системы координат

Дополнение 2 к главе 1

§7. Кинематические характеристики точки
в сферических координатах.

Как показано в §5,формулы связи декартовых и сферических координат имеют вид:

,

,

,

.

Полагаем

.

, .

Коэффициенты Ламе будут выражаться через криволинейные координаты по формулам:

;;

.

А тогда

,

,

2. Легко показать, что

, , ,

т.е. сферическая система координат — ортогональная.

3. Вычислим скорость в проекциях на орты , т.е. вычислим ковариантные координаты скорости .

Поскольку сферическая система координат ортогональная, то

,

,

,

.

Из этих соотношений легко находятся направляющие косинусы в системе :

,

,

.

4. Вычислим ускорение в проекциях на орты , используя формулу Лагранжа.

Для этого построим :

.

Тогда

, .

Отсюда, применяя формулу Лагранжа, находим

. (1.7.1)

Аналогично для получаем

, ,

(1.7.2)

В свою очередь для будем иметь

, ,

(1.7.3)

5. Подстановкой (1.7.1), (1.7.2), (1.7.3) в формулу можем выписать выражение для модуля ускорения .

6. Подстановка в соотношения

,

,

дает зависимости направляющих косинусов вектора в системе от криволинейных координат , обобщенных скоростей и обобщенных ускорений .