Теорема Лагранжа

Ковариантные координаты ускорения точки

Построим формулу Лагранжа для вычисления ковариантных координат , , ускорения .

Согласно определению ковариантных координат можем записать

, .

Подставим в правую часть этого равенства значение орта , вычисленное в точке ,

.

Вынесем за знак скалярного произведения.

В результате придем к следующему выражению для :

.

В нем, в соответствии с определением понятия ускорения точки, производная вычисляется вдоль движения

, , .

Поэтому в множителе производная по времени строится от суперпозиции функций и .

А потому, согласно свойству б) функции из леммы Лагранжа, множитель можно заменить производной .

Кроме того, по свойству а) из той же леммы, множитель можно заменить производной .

А тогда выражение для примет вид

. (1.5.39)

Введем функцию

,

где задается формулой (1.5.32):

. (1.5.32)

Будем иметь

, .

Подставляя в (1.5.39)

, (1.5.39)

окончательно найдем

, . (1.5.40)

Эта формуланазывается формулой Лагранжа для вычисления ковариантных координат ускорения точки.

Таким образом, доказали следующую теорему.

Ковариантные координаты вектора ускорения материальной точки выражаются по формуле(1.5.40).

Если криволинейные координаты ортогональны, то , .

В таком случае формула (1.5.39) позволяет вычислить контравариантные координаты вектора .