Ускорение в декартовых координатах

Вывод второй формулы для расчета ковариантных координат скорости

Целью данного раздела является вывод следующей формулы (1.5.37) для ковариантных координат скорости :

, . (1.5.37)

где

.

Для ее вывода воспользуемся определением ковариантных координат и леммой Лагранжа.

Поскольку, согласно указанному определению

, , ,

то можем записать

.

Подставим соотношение а) из леммы Лагранжа в правую часть выражения построенного для :

а) , .

Учтем, что задается формулой (1.5.32)

, (1.5.32)

а для нее справедливо очевидное равенство

,

в котором

.

В результате окончательно находим

, . (1.5.37)

Отметим здесь, что полученная формула (1.5.37) для отличается по виду от (1.5.31)

, (1.5.31)

– от первой формулы, построенной для в п.п. 8.2.3.

Однако очевидно, что она совпадает с (1.5.31), если учесть в (1.5.37), что функция задается правой частью равенства (1.5.30):

. (1.5.30)

На практике часто бывает удобнее сначала построить функцию , а затем для вычисления применить формулу (1.5.37) вместо непосредственного применения (1.5.31).

8.7. Связь декартовых координат скорости
с обобщенными скоростями точки

Легко видеть, что

.

Отсюда круговой перестановкой координат и ортов получим выражения для и :

,

.

В матричной записи эти выражения для , и примут вид:

,

где — матрица перехода от аффинной системы к декартовой прямоугольной системе координат,

.

В данном выражении элементы матрицы вычисляются в точке (а не в точке ).

1.3. Дополнение 3 к §5

9º. Ускорение точки в криволинейных координатах. Теорема Лагранжа

Вычислим ускорение точки согласно определению

.

Учтем, что

.

Дифференцируя правую часть по , приходим к векторному представлению ускорения в зависимости от вектор-функции , обобщенных скоростей и обобщенных ускорений , :

.

В проекциях на абсолютные оси оно примет вид:

,

,

.

9.2. Связь контравариантных координат ускорения с
его декартовыми координатами

Запишем теперь разложение ускорения по базису основной системы с началом в точке и по базису ДПСК:

. (1.5.38)

Умножая обе части равенства последовательно на скалярно, находим:

В матричном представлении данные соотношения примут вид:

, или .

Они дают связь контравариантных координат ускорения с его декартовыми координатами .

Из равенства подстановкой в него разложения (1.5.38)

. (1.5.38)

получаем формулу для :

,

где — модуль ускорения .

2. Дополнения к главе 1 «Кинематика точки»