Производная функции, ее геометрический и физический смысл

           Определение. Производной функции f(x) в точке х = х₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

 

           у                        

                                                                                                                        f(x)

 

                                                              

f(x₀ +Dx)                                P                                            

                                                                         Df

f(x₀)                M                                    

                                                              

a                        b                                       x        0               x₀ Dx x₀ + Dx

                                                                                                                 

 

 

           Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда  тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.

 

,

 

где a - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x₀, f(x₀)).

 

           Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.

 

           Уравнение касательной к кривой:  

 

           Уравнение нормали к кривой: .

 

Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.

           Физический смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения.

           Соответственно, вторая производная функции- скорость изменения скорости, т.е. ускорение.

Дифференциал функции.

           Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х:

Тогда можно записать: , где a®0, при Dх®0.

Следовательно: .

Величина aDx- бесконечно малая более высокого порядка, чем f¢(x)Dx, т.е. f¢(x)Dx- главная часть приращения Dу.

 

           Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции.

           Обозначается dy или df(x).

Из определения следует, что dy = f¢(x)Dx или dy = f¢(x)dx.

Можно также записать:

Геометрический смысл дифференциал                                            

                                                                                                                        f(x)                        

                                                                                            K dy       Dy    

               M                                                                    L

                                                                                                                            

 

     

    a

                    x x + Dx                                              

                                                                                                                   

 

           Из треугольника DMKL: KL = dy = tga×Dx = y¢×Dx

Таким образом, дифференциал функции f(x) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в рассматриваемой точке.

Свойства дифференциала.

           Если u = f(x) и v = g(x)- функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:

 

1) d(u ± v) = (u ± v)¢dx = u¢dx ± v¢dx = du ± dv

2) d(uv) = (uv)¢dx = (u¢v + v¢u)dx = vdu + udv

3) d(Cu) = Cdu